Les trois lois de Newton fondent la mécanique classique et plus particulièrement la dynamique. Rappelons que la cinématique consiste à décrire les mouvements d’un point matériel ou d’un système de points matériels, alors que la dynamique s’intéresse aux causes de ces mouvements.
Les lois de Newton sont évoquées assez tôt dans l’enseignement de la physique en France, dès la seconde. Au lycée, l’élève apprend ces lois et les circonstances dans lesquelles on les utilise pour résoudre un problème de mécanique.
Il semble cependant que cet enseignement ne soit pas bien perçu et les lois de Newton bien comprises. En passant sur quelques forums d’aide aux lycéens, j’ai pu constater que les élèves ne savaient pas distinguer les différences entre les trois lois ni les appliquer à bon escient. De ce constat sont nées ces quelques lignes.
Je citerai dans la suite les lois de Newton. Les textes originaux de ces lois, traduits en français, proviennent du « Principia – Principes mathématiques de la philosophie naturelle » d’Isaac Newton, traduit par la Marquise du Châtelet et préfacé par Voltaire, récemment réédité par Dunod. J’en recommande la lecture à tous ceux que la physique intéresse.
Dans la suite, j’utilise la convention typographique classique chez les physiciens : les vecteurs sont en gras.
Avant d’aller plus loin, il me semble nécessaire de définir un « détail » : qu’est-ce qu’un point matériel ? Tous les cours parlent de « point matériel » sans trop décrire les hypothèses et les limites de ce concept. Un point matériel est un objet de dimension nulle, mais qui possède une masse. Pratiquement, cela n’existe pas bien sur !
Il ne faut pas confondre un point matériel avec un point mathématique, qui lui ne possède pas de masse.
Que signifie, en physique, que sa dimension est nulle ? Dans notre perception de la réalité, aucun objet matériel ne possède une dimension nulle. Alors que veut-on dire par là ? La question à poser devrait plutôt être : quelle approximation fait-on en parlant d’objet de dimension nulle !
En fait, lorsqu’on parle de « point matériel », on désigne un objet dans la taille est si petite que l’on peut négliger des « détails » comme son moment d’inertie et d’autres encore.
Mais attention, la notion de « point matériel » dépend du domaine du problème. En mécanique classique au lycée, une bonne approximation du point matériel est l’atome, du moins l’image qu’on s’en fait au lycée. Mais en physique des particules, l’atome n’a plus rien d’un point matériel !
Longtemps les physiciens précédant Newton se sont demandé ce qui provoquait le mouvement et si un mouvement pouvait exister sans force. Galilée et Descartes ont fait avancer la question en introduisant la notion d’inertie, c’est d’ailleurs Galilée qui a énoncé le principe d’inertie, que Newton a repris dans sa première loi.
Dans son énoncé original, Newton écrit « Tout corps persévère dans l’état de repos ou de mouvement uniforme en ligne droite dans lequel il se trouve, à moins que quelque force n’agisse sur lui, et ne le contraigne à changer d’état ».
En langage moderne, cela donne « Tout corps isolé qui n’est pas soumis à aucune sorte d’interaction avec d’autres objets matériels, conserve l’état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme (MRU) qu’il possédait auparavant » ou toute autre formulation approchante.
L’énoncé moderne du principe d’inertie est « Dans un référentiel d’inertie, tout point matériel, ne subissant aucune interaction, a une vitesse constante, éventuellement nulle »
Vous remarquerez que la notion de masse n’intervient pas dans l’énoncé du principe d’inertie. Cet aspect, assez peu souligné, est important en relativité générale.
Le principe d’inertie est très important en physique, c’est même sans doute le plus important. Il est à l’origine de toutes les réflexions qui ont conduit à la relativité restreinte puis à la relativité générale.
Disons tout de suite que l’hypothèse de cette loi est purement théorique : il n’existe aucun corps dans l’univers que soit rigoureusement isolé ! Pour pouvoir l’appliquer, il faut faire des approximations (négliger l’influence des autres corps) voire même tricher carrément !
Par exemple, l’expérience classique d’illustration de ce principe au lycée se fait sur un banc à coussin d’air. On arrive ainsi à presque éliminer les frottements et surtout à compenser le poids du corps (un palet) en mouvement.
On essaye de se placer de cette manière dans une situation où le corps n’est soumis à aucune interaction, mais c’est tout à fait artificiel ! On parle dans ce cas là, de « solide pseudo-isolé ». J’ai même lu des livres de physique de lycée qui citent la Première Loi en parlant de « solides pseudo-isolé », sur lesquels « les forces appliquées se compensent ». Je considère que c’est une ineptie que de ne pas enseigner la Première Loi dans toute sa rigueur puis d’expliquer aux élèves la manière dont on approxime les situations pour l’appliquer, sachant qu’elle est inapplicable en toute rigueur.
Il faut penser à cette contrainte lorsqu’on veut utiliser la première loi. Inutile de penser Première Loi dans un système de points en interaction ! C’est une très grossière erreur, que pourtant certains lycéens n’hésitent pas à commettre sans état d’âme !
Un autre aspect de cette loi qui est largement oublié au lycée, c’est qu’elle n’est pas applicable dans n’importe quel référentiel !
Je reviendrai plus loin sur l’importance de la notion de référentiel en mécanique. Mais le principe d’inertie, la Première Loi de Newton, repose entièrement sur une catégorie particulière de référentiels. On les appelle « référentiel d’inertie » ou « référentiel galiléen ». En fait, cette loi n’est vraie que dans ces référentiels, ce qui ne semble pas effleurer l’esprit de beaucoup, qui omettent systématiquement de le préciser.
C’est si important que l’on utilise généralement en mécanique un autre énoncé de la Première Loi, qui dit « Un référentiel d’inertie est un référentiel dans lequel un point matériel qui n’est soumis à aucune sorte d’interaction, conserve l’état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme (MRU) qu’il possédait auparavant ».
En respectant ses limitations et en ne lui faisant pas dire ce qu’elle ne dit pas !
Pour employer le principe d’inertie, il faut que :
Au lycée, on invoque la Première Loi, le principe d’inertie, essentiellement pour démontrer qu’un point (ou un objet) est en MRU (Mouvement Rectiligne Uniforme). Mais attention à en préciser les hypothèses :
Alors par pitié, n’allez pas invoquer la Première Loi en statique ou pour calculer le mouvement d’une masse qui chute ! Dans les deux cas, l’objet est soumis à une ou des interactions !!
En fac ou en prépa, on étudie et utilise longuement la Première Loi pour aborder la relativité.
La Seconde Loi, le principe fondamental de la dynamique ou PFD (je le noterai par habitude PFD, c’est plus simple et je suis paresseux !), est sans doute la loi la plus connue des lycéens. On l’aborde dès la première puis en terminale (en France du moins). Il est vrai que le PFD a des applications innombrables et très poussées.
Newton a énoncé le PFD ainsi dans les Principia: « Les changements qui arrivent dans le mouvement sont proportionnels à la force motrice, et se font dans la ligne dans laquelle cette force a été imprimée ».
C’est assez obscur !
On l’énonce en langage moderne de la façon suivante : « Dans un référentiel d’inertie, la vitesse d’un point matériel varie proportionnellement à la somme des forces extérieures qui lui sont appliquées et inversement proportionnellement à sa masse ».
Ou encore sous forme mathématique :
ΣFExt = m*dv/dt
Si je note a le vecteur accélération, qui comme chacun sait est la dérivée du vecteur vitesse, alors on trouve l’expression que tout le monde connait :
ΣFExt = m*a
ce qui nous donne l'expression de l'accélération:
a = ΣFExt/m
A vrai dire, je n’aime pas trop cette expression du PFD. Je préfère utiliser une autre grandeur physique, introduite par Descartes en 1645, que l’on appelle la quantité de mouvement, notée p, et qui s’exprime par p = mv. Ainsi donc, le PFD devient:
ΣFExt = dp/dt
Je préfère l’utilisation de la quantité de mouvement car c’est une grandeur qui est très utilisée en mécanique, classique et quantique.
Avec cette expression, on ramène la définition d’une force à celle d’une variation de quantité de mouvement, ce qui est assez intuitif.
Précision qui peut avoir son importance : la masse dont il est question ici est la masse inertielle du point matériel, pas sa masse gravitationnelle ! La masse gravitationnelle est celle que vous utilisez quand vous écrivez P = m*g, P étant le poids. Dans bien des calculs, on est amené à confondre masse inertielle et masse gravitationnelle (en égalant F et P, par exemple). On utilise donc implicitement le principe d’équivalence de ces deux masses (du à Einstein), qui n’a jamais été rigoureusement justifié (sinon, on aurait une théorie physique unifiée) mais qui est vérifié expérimentalement à 10-12 près, pour l’instant (10-15 bientôt)…
Encore une fois, le référentiel doit être absolument précisé, et il est absolument nécessaire que ce soit un référentiel inertiel (si le référentiel n'est pas inertiel, le PFD doit intégrer des forces supplémentaires, les forces d'inertie, dont je ne parlerai pas ici).
En règle générale, le PFD sert à déterminer le mouvement d’un point matériel ou d’un système de points, connaissant les forces qui s’appliquent à ce point.
Pour résoudre un problème de dynamique en utilisant le PFD, la méthode est toujours la même :
Le point le plus important, et qui est aussi le plus négligé, c’est la définition du référentiel !
Son énoncé original est « l’action est toujours égale à la réaction ; c'est-à-dire que les actions de deux corps l’un sur l’autre sont toujours égales, et dans des directions contraires ».
En langage moderne, on dira que « les actions réciproques, ou action et réaction, sont des forces colinéaires, d’intensité égale et de sens contraire ».
Cette loi est un cas particulier d’un théorème plus général de la mécanique, dit « loi de la conservation de la quantité de mouvement ».
On ne l’utilise plus beaucoup au lycée depuis que les problèmes de propulsion de fusée et de collision de boules de billard ont disparus.
Il y a toutefois un cas où l’on emploie la Troisième Loi, sans le dire vraiment ! C’est lorsqu’on étudie le mouvement d’un mobile sur un plan horizontal, à condition qu’il n’y ait pas de frottement. L’élève écrit tranquillement, souvent sans préciser que les frottements doivent être nuls – pas négligeables, nuls, que la réaction du support compense le poids du mobile. Il applique la troisième loi sans le dire… Dommage !
J’ai beaucoup parlé de référentiel, mais qu’est-ce qu’un référentiel ?
En dynamique comme en cinématique, on parle de position, de vitesse et d’accélération. Ce sont des concepts géométriques qui nécessitent de :
Précisons d’abord qu’en mécanique classique, celle du lycée et de la prépa, nous nous situons dans l’espace géométrique euclidien classique de dimension 3 (au plus!).
Vous savez tous que pour situer un point dans l’espace, on définit un repère, centré sur un point origine, doté de 3 axes (qu’on choisira orthogonaux en physique, parce qu’on est paresseux) sur lesquels on définit une base vectorielle notée classiquement (ex, ey, ez). Jusqu’ici, rien de nouveau par rapport au cours de maths ! Ajoutons que l’on choisit une base directe, son orientation étant importante à préciser dès que l’on utilise un produit vectoriel…
Un référentiel est l’ensemble formé d’un repère, généralement orthonormé direct et d’une horloge.
Pourquoi une horloge ? Parce qu’elle nous sert à mesurer les différences de temps. Pas d’horloge, pas de mesure de vitesse, ni d’accélération…
En mécanique newtonienne, on considère qu’il existe une horloge universelle, commune à tous les référentiels. C’est pratique parce qu’on peut définir ainsi la simultanéité des évènements dans différents repères. Mais on s’est aperçu, le « on » est Einstein, qu’il était indispensable d’attribuer à chaque référentiel sa propre horloge, qui définissait son temps propre. Ce qui implique qu’il faut oublier la simultanéité, mais c’est une autre histoire…
Quant au repère, en physique, il est définit comme un ensemble de points dont les distances sont invariables dans le temps et sur lequel on appuie les 3 axes du repère mathématique. Le trièdre des murs de la classe fera généralement très bien l’affaire.
Il faut maintenant définir la nature du référentiel et plus précisément son type. Et c’est ici que le problème devient compliqué !
On l’appelle aussi « référentiel d’inertie » ou « référentiel inertiel ». Je préfère la dénomination « référentiel d’inertie », mais l’enseignement français emploie la plupart du temps le terme « référentiel galiléen ». Les puristes introduisent une différence entre référentiel d’inertie et référentiel galiléen, mais je n’en parlerai pas ici.
On définit un référentiel galiléen comme un référentiel dans lequel un point matériel soumis à une force nulle présente un mouvement rectiligne uniforme (vitesse constante, éventuellement nulle). Un référentiel galiléen est donc défini par rapport à la Première Loi de Newton, ce qui est à retenir.
Pour s’assurer que le référentiel choisi est galiléen, celui du laboratoire par exemple, il faut s’assurer que dans ce référentiel, le point matériel n’est soumis à aucune force et donc aucune accélération. Il y a deux moyens de s’en assurer : la réflexion et l’expérience. Par exemple, un référentiel lié à la Terre, qui est en rotation sur elle-même et en révolution autour du Soleil, n’est pas galiléen en toute rigueur !
Nous verrons dans la suite dans quelles conditions on peut considérer qu’un référentiel est pratiquement galiléen.
Enfin, je voudrais introduire très rapidement une notion souvent oubliée au lycée, voire même en prépa : la classe des référentiels galiléens.
On démontre en cinématique que l’accélération d’un point est identique dans tous les référentiels qui sont en MRU les uns par rapport aux autres. Si donc je considère deux référentiels R et R’, en MRU l’un par rapport à l’autre, et que je considère que R est galiléen, alors R’ est galiléen, car le principe d’inertie est vérifié dans R’.
On définit ainsi la classe des référentiels galiléens. Si l’on connait un référentiel galiléen R, on peut construire un référentiel R’ galiléen : il faut et il suffit que R’ soit en MRU par rapport à R.
On l’appelle aussi « référentiel de Copernic ». Son origine est située au centre de masse du système solaire, qui est assimilé, avec une très bonne approximation, au centre de masse du Soleil. Les 3 axes du repère sont orthonormés et dirigés vers 3 étoiles ad hoc hors de notre galaxie, qui ne présentent pas de mouvement apparent par rapport à notre galaxie, étoiles que l’on dit « fixes » par abus de langage.
Ce référentiel est celui qui se rapproche le plus de la définition du référentiel galiléen, du moins pour tous les problèmes classiques concernant notre galaxie…
Ce référentiel a son origine au centre de masse de la Terre. Ses 3 axes sont parallèles aux axes du référentiel héliocentrique.
Le référentiel géocentrique est en mouvement de translation elliptique (qu’on peut en première approche considérer comme une translation circulaire) par rapport au référentiel héliocentrique (les systèmes d’axes des deux référentiels sont parallèles par définition). Ce n’est donc pas en toute rigueur un référentiel galiléen. Il s’en approche toutefois sous certaines conditions que l’on verra dans un paragraphe suivant.
La Terre est en mouvement de rotation dans ce référentiel.
Ce référentiel est centré sur le centre de masse de la Terre. Ses 3 axes sont orthonormés et liés à la Terre.
Le référentiel terrestre est donc en rotation par rapport aux référentiels géocentrique ou héliocentrique. La principale conséquence est que le référentiel terrestre n’est pas galiléen, bien qu’on puisse l’approximer sous certaines conditions à un référentiel galiléen.
Autre conséquence de la définition, la Terre est immobile dans le référentiel terrestre.
Enfin, si l’on fait l’approximation galiléenne pour le référentiel terrestre, et seulement à cette condition , on peut considérer que n’importe quel référentiel centré sur un point quelconque de la surface terrestre est galiléen (voir la définition de la classe des référentiels galiléens plus haut). En effet, ce référentiel sera immobile par rapport au référentiel terrestre et donc en MRU, il appartient donc à la classe des référentiels galiléens. Mais j’insiste sur le fait que c’est une approximation et qu’il est hautement conseillé de la poser en toutes lettres et de l’expliciter comme indiqué ci-dessous dans vos devoirs (votre prof. de physique sera favorablement impressionné !).
En pratique, le référentiel galiléen dont vous entendrez le plus parler est le référentiel du laboratoire, défini par son système d’axes, formé par le trièdre des murs du labo, et l’horloge du labo. Il n’est pas vraiment galiléen, mais on fera avec dans la plupart des cas !
Tout dépend du problème posé ! Voici quelques règles, qui n’empêchent pas la réflexion :
D’une manière générale, pour choisir votre référentiel, posez-vous les questions suivantes :
Evitez les bourdes comme :
Pour illustrer tout ça, rien ne vaut un exemple de résolution d’un problème de mécanique. J’ai choisi un cas très simple, tiré du programme de terminale S, mais abordable dès la première. Il s’agit de l’étude du mouvement d’un mobile posé sur une table, fixé à un ressort, qui peut se mouvoir sans frottement.
C’est une expérience de labo, je vais donc choisir le référentiel du laboratoire. Je vais utiliser un repère dont je fixerai l’origine au point O, histoire de pouvoir projeter tranquillement. Puis-je considérer ce référentiel comme galiléen ? Oui, car les effets de la rotation terrestre sont négligeables : expérience de faible durée et de dimension spatiale très modeste…
Donc me voilà doté d’un référentiel galiléen pour travailler.
Le mobile, de masse m, est assimilé à un point matériel. Du point de vue de notre étude, ce mobile est donc réduit à son centre d’inertie G.
Le mobile est fixé à un ressort. Au repos, c'est-à-dire quand le ressort n’est ni en élongation ni en compression, le point G a pour abscisse x0. On tire le mobile vers la droite pour amener le point G à l’abscisse x, dans notre référentiel, et on le maintien en cette position. Ce mouvement, provoqué par une force musculaire qui n’entre pas dans le problème, entraîne l’élongation du ressort. C’est la situation initiale du problème.
Un physicien anglais, Robert Hooke, énonça en 1678 la loi qui porte son nom, en version moderne « l’allongement est proportionnel à la force », autrement dit F = k*l, si l est l’allongement. K est une constante, dite « constante de raideur », que l’on détermine expérimentalement. Le signe du membre de droite dépend s’il s’agit d’une compression ou d’une élongation.
On cherche à savoir quel sera la nature du mouvement du mobile lorsqu’on va le lâcher, du moins du mouvement de son centre d’inertie. Le mieux est encore de faire l’expérience et d’observer. On note que le centre d’inertie G oscille autour du point d’équilibre x0. C’est un constat expérimental.
Le but du problème est de modéliser le phénomène pour trouver une ou plusieurs équations qui permettront de rendre compte de ce comportement.
Essayons de les identifier :
Pas d’autres forces à l’horizon : on va négliger l’attraction de la Lune et du Soleil…
Nous appliquons le PFD sous sa forme vectorielle selon la définition : la somme vectorielle des forces extérieures en présence est égale au produit de la masse du mobile par son accélération, soit :
P + F + R = m*a
Nous avons établi lors du bilan des forces que P = -R.
D’autre part, la loi de Hooke nous permet d’écrire que F = -k*(x(t) – x0)*ei, x(t) – x0 représentant l’élongation du ressort.
Notre équation devient donc, en prenant en compte ces remarques: F = -k*(x(t) – x0)*ei = m*a, ce qui en simplifiant donne :
a = -(k/m)*(x(t) – x0)*ei
A partir de cette équation vectorielle, on peut faire deux remarques qui vont nous permettre de simplifier tout ça :
D’où, en projetant sur Ox:
d2x/dt2 = -(k/m)*x(t)
Et nous voilà avec une splendide équation différentielle, qui décrit le mouvement du centre d’inertie du mobile dans le référentiel choisi. Nous avons modélisé le problème.
Trouver la solution de cette équation différentielle n’est pas du niveau de terminale. Mais on peut travailler en physicien pur ! Un physicien observe et devine. En observant, nous voyons que le point G suit un mouvement sinusoïdal si les frottements sont vraiment négligeables (sur un coussin d’air par exemple) et donc nous chercherons une solution de la forme :
x(t) = A*cos(ω0 * t + φ)
avec :
A titre d’exercice, vous pouvez vérifier que cette fonction est solution de l’équation différentielle et calculer les valeurs de ω0 et de φ
Pour calculer ces valeurs, il vous faut deux hypothèses supplémentaires :
Vous remarquez que la résolution d’une équation différentielle d’ordre 2 (avec des dérivées secondes) nécessite deux conditions initiales sur les dérivées de rang inférieur (sur la vitesse et la position initiale).
Maintenant, vous pouvez calculer la période du mouvement, et même pour les prépas envisager la solution du problème si nous n’avions pas négligé les frottements.
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