Trigonométrie élémentaire

Les formules de base

Comment parler de trigonométrie sans tracer le cercle trigonométrique! C'est un réflexe que n'ont pas beaucoup de lycéens et c'est dommage... Voyons ce cercle et les définitions qui vont avec!

Par définition, OM = OC = OD = 1, car le rayon du cercle trigonométrique est unitaire. Si j'appelle α l'angle (OM,Ox), je définis:

Le sinus, noté sin(α), qui est égal à sin(α) = OB/OM = OB
Le cosinus, noté cos(α), qui est égal à cos(α) = OA/OM = OA
La tangente, notée tan(α), qui égale à tan(α) = CT
La cotangente, notée cotan(α), qui est égale à cotan(α) = DE

Si nous appliquons le théorème de Pythagore dans le cercle, nous obtenons la formule indispensable sin²(a) + cos²(a) =1.

Ajoutons aussi 1 + tan²(a) = 1/cos²(a).

Quelques rappels concernant les fonctions sin, cos et tan:

la fonction sin est définie sur R, périodique, de période 2π.
la fonction cos est définie sur R, périodique, de période 2π. Elle est paire.
la fonction tan est définie sur R - {π/2 + kπ} avec k entier relatif, périodique, de période π. Elle est impaire.
la fonction cotan est définie sur R - { kπ} avec k entier relatif, périodique, de période π. Elle est impaire.

Des symétries à connaître (x est un réel quelconque) :

cos(x + π) = -cos(x) et cos(-x + π) = -cos(x)
sin(x + π) = -sin(x) et sin(-x + π) = sin(x)
cos(x + π/2) = -sin(x) et cos(-x + π/2) = sin(x)
sin(x + π/2) = cos(x) et sin(-x + π/2) = cos(x)

Les égalités (dans le domaine de définition des fonctions):

cos(x) = 0 <=>; x = π/2 + πk
sin(x) = 0 <=> x = πk
tan(x) = 0 <=> x = πk
cotan(x) = 0 <=> x = π/2 + πk

et :

cos(a) = cos(b) <=> a = b + 2kπ et a = -b + 2kπ
sin(a) = sin(b) <=> a = b + 2kπ et a = π - b + 2kπ
tan(a) = tan(b) <=> a = b + kπ
cotan(a) = cotan(b) <=> a = b + kπ

Les formules d'addition

Les plus connues, a et b étant des réels quelconques:

cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)
cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)
sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)

Les formules de linéarisation

Encore les plus connues, avec les mêmes notations:

cos(a)cos(b) = 1/2(cos(a + b ) + cos(a - b))
sin(a)sin(b) = 1/2(cos(a - b ) - cos(a + b))
sin(a)cos(b) = 1/2(sin(a +b ) + sin(a - b))

Deux autres formules analogues à connaître:

cos²(a) = (1 + cos(2a))/2
sin²(a) = (1 - cos(2a))/2

Les formules de factorisation

Avec les variables traditionnelles p et q réels (je ne sais pas pourquoi cette tradition, mais bon...):

sin(p) + sin(q) = 2sin((p + q)/2)cos((p - q)/2)
sin(p) - sin(q) = 2cos((p + q)/2)sin((p - q)/2)
cos(p) + cos(q) = 2cos((p + q)/2)cos((p - q)/2)
cos(p) - cos(q) = -2sin((p + q)/2)sin((p - q)/2)

ou encore:

cos(2a) = cos²a -sin²a
sin(2a) = 2sin(a)cos(a)