Diffusion des particules alpha par le noyau
L'expérience de Rutherford

Description de l'expérience historique

Ernest Rutherford

Commençons par présenter brièvement ce physicien extraordinaire, lauréat du prix Nobel de... Chimie en 1908, pour ses travaux sur la radioactivité!
Lord Ernest Rutherford of Nelson est né le 30 août 1871 à Nelson (NZ) et est mort le 19 octobre 1937 à Cambridge (UK). C'est un des pères fondateurs de la physique moderne. On lui doit, entre autres:

• la découverte et la première mesure expérimentale, en 1900, de la loi exponentielle de désintégration,
• la découverte, avec F.Soddy en 1903, des lois des transformations radioactives,
• la découverte de la nature des particules alpha (des ions hélium He²⁺) et de leur diffusion par la matière, en 1907,
• la loi de la section efficace de diffusion et le concept de noyau en 1911,
• la première mesure, avec E.Andrade, de la longueur d'onde d'un rayon gamma, par diffraction sur un cristal en 1914,
• la première transmutation nucléaire de l'azote en oxygène, en 1919,

et autres babioles....

Dans cette page, nous nous intéresserons à la découverte des lois de diffusion des particules alpha par de la matière, en l'occurrence une feuille d'or très fine. De ces lois, Rutherford a déduit l'existence et la taille du noyau atomique.

Pour éviter les malentendus, je précise que l'exposé qui suit est strictement limité à la physique classique, telle que la connaissait Rutherford en 1911 ! L'explication des phénomènes dont nous allons parler serait très différente en physique quantique, mais pour aboutir au même résultat. Il ne serait plus question de noyau d'hélium qui entre en collision avec un noyau d'or, mais plutôt de diffraction d'une onde de densité de probabilité sur une barrière de potentiel sphérique ou quelque chose de similaire. Pour ceux que cela interpelle, voir la page sur l'équation de Schrödinger.

La découverte de la diffusion des particules alpha par le noyau

Disons tout de suite par respect pour l'histoire que l'expérience dite "de Rutherford" a été réalisée par Hans Geiger (oui, celui des compteurs) et Ernst Marsden entre 1908 et 1909. Rutherford est intervenu dans la conduite de l'expérience et dans l'interprétation des résultats, sans parler bien sur de la création du modèle atomique auquel elle a abouti. C'était en 1911.
Rappelons-nous que le modèle d'atome en vigueur à l'époque est celui de JJ Thomson, soit une gelée charges négatives et positives. On l'appelle le modèle "plum pudding"!

Les prémisses

Voyons d'abord les travaux précurseurs et les découvertes qui ont conduit à l'élaboration de l'expérience de Rutherford:

• 1900, Marie Curie découvre qu'une source de polonium émet des "rayons non déviables", qui pénètrent dans la matière en perdant de leur "force vive".
• 1903, William Crookes observe que lorsque un écran recouvert de sulfure de zinc est frappé par un rayon alpha (le rayon non déviable de Marie Curie), alors des éclairs brefs sont visibles, sans pouvoir établir si un éclair = une particule.
• 1904, William Bragg détermine que les particules alpha ont toutes la même vitesse (ou à peu près..) et qu'elles sont freinées par la matière.
• 1905, Rutherford observe le premier indicateur d'une diffusion des particules alpha par la matière. Il constate que la tâche formée par un rayon alpha sur un écran de sulfure de zinc est nette en absence d'air sur le parcours du rayon, mais que ses bords deviennent flous en présence d'air.
• 1906, Rutherford détermine que les particules alpha conservent leur charge et leur masse malgré le ralentissement observé, et mesure la diffusion (un angle moyen de 2°) après passage du rayon à travers une très fine feuille de mica. Il suppose que l'angle de diffusion peut-être plus important.
• 1908, Geiger, sur les indications de Rutherford, invente le premier compteur à particules. Il utilise le phénomène d'ionisation en avalanche d'un gaz sur le passage des particules alpha, phénomène découvert par Townsend. A l'aide de ce compteur, Geiger et Rutherford peuvent compter les particules alpha une à une. Ainsi, ils ont pu établir la masse d'une particule alpha et sa nature: un ion d'hélium He²⁺. A l'aide de ce compteur, Geiger a aussi pu établir qu'une scintillation sur l'écran de sulfure de zinc correspondait au choc d'une particule, ce qui eut pour effet de calibrer la mesure par scintillation, élément capital des expériences à venir.

L'expérience

A partir de ces différents éléments, Rutherford, Geiger et Marsden ont étudié la diffusion des particules alpha après passage dans la matière. En guise de matière, ils utilisent de fines feuilles de métal (Al, Au, Pb, etc..).
Les particules alpha ont une énergie comprise entre 4 et 8 MeV (resp. pour le thorium et le polonium) . L'équipe de Rutherford utilisait une source de radium, qui générait des alphas d'énergie égale à environ 4,8 MeV (source).
Leur dispositif expérimental était assez simple: un morceau de radium est disposée à l'extrémité d'un tube d'environ 1 m. la source est protégée par une chappe de plomb. A l'autre extrémité se trouve une fente de collimation. Puis, dans l'axe, à environ 50 cm de la fente, un écran circulaire de sulfure de zinc. Le tout dans une enceinte sous vide. Au niveau de la fente, il était possible de disposer de fines feuilles de matière qui sont donc traversées par le faisceau de particules.de particules.

Image d'origine inconnue - trouvée sur le net

En l'absence de matière, on observe aucune diffusion, le faisceau provoque une tâche très nette. En ajoutant de la matière, et en particulier une ou plusieurs feuilles d'or, on constate que certaines particules, peu nombreuses, sont diffusées avec un angle plus ou moins grand, pouvant égaler voire dépasser 90°. Geiger et Marsden ont montré qu'une particule sur 8000 était réfléchie par une feuille d'or de 6*10^-5 cm.

L'interprétation

Rutherford a construit sa réflexion sur les points suivants, selon les postulats de la mécanique classique rappelons le:

• une réflexion de l'ordre de 90° ou plus ne peut être le résultat de la somme de petites réflexions cumulées,
• dans le modèle de JJ Thomson, il faudrait expliquer ces réflexions par des collisions avec des électrons. Or un électron est bien trop léger pour provoquer la réflexion d'une particule alpha (qui est, rappelons-le parce que nous le savons aujourd'hui, un noyau d'hélium, 2 000 fois plus lourd qu'un électron!)
• très peu de particules, une sur 8 000, sont réfléchies et donc l'objet sur lequel se heurtent lesdites particules doit être très petit, bien plus petit qu'un atome.

En 1911, à partir de ces faits expérimentaux, Rutherford a imaginé un modèle d'atome constitué d'une charge positive ponctuelle et centrale: le noyau et d'un cortège d'électrons en révolution autour du noyau, sans qu'il précise d'ailleurs dans quelles conditions (car la stabilité de l'ensemble était plutôt sujette à discussion!). Il s'agit du modèle planétaire, qui ressemble à ça (le coté ponctuel de la charge positive en moins!):

Image d'origine inconnue - trouvée sur le net

Il calcule, à partir des données disponibles à son époque, que la distance d'approche la plus courte du noyau par une particule alpha est d'environ 3*10^-14 m. Nous verrons dans nos simulation qu'il n'est pas tombé loin!
Geiger a aussitôt calculé et validé expérimentalement la variation de l'angle de diffusion en fonction du modèle proposé par Rutherford, et en particulier la relation qu'on appelle aujourd'hui "section efficace de diffusion". Une nouvelle physique de la matière était née....
J'invite vivement ceux que l'histoire de cette partie de la physique intéresse à lire le chapitre 3 de l'excellent "De l'atome au noyau" de Bernard Fernandez.

Une première simulation pour comprendre

Une première modélisation

Notre première modélisation nous permettra de comprendre pourquoi et comment une particule alpha, chargée positivement, peut être diffusée par un noyau cible, un noyau d'or dans cette expérience. Elle nous permettra aussi de se fixer les idées sur les ordres de grandeur de l'expérience.
Voyons les lois de la physique que nous allons utiliser. Comme d'habitude, les lettres grasses désignent des vecteurs.
Nous sommes en présence de deux particules chargées, de même signe. Elles subissent donc une répulsion coulombienne que je sais égale à:

F = (q1q2/ 4πε₀ ) r/r³

q1 est la charge positive de la particule alpha, soit 2*e puisqu'il s'agit d'un ion d'hélium He²⁺
q2 est la charge positive du noyau d'or, soit 79*e
Nous sommes en présence du mouvement d'une particule sous l'action d'une force centrale. Bien que la vitesse de la particule alpha ne soit pas négligeable devant c (environ 1/10 de c), on se placera dans une hypothèse non relativiste. Cela fera une approximation de plus dans ce modèle!. Nous allons donc nous placer dans un référentiel galiléen et appliquer la seconde loi de Newton:

F = m*γ

m : masse de la particule alpha
Nota : je fais quelques autres approximations, en tenant compte du fait que le noyau d'or est bien plus massif qu'une particule alpha (resp. 197 uma et 4 uma, uma = unité de masse atomique)
Le référentiel est centré sur le noyau d'or (approximation sur le centre de masse du système). Dans ce référentiel, j'égale les deux équations ci-dessus et je les projette sur les axes Ox et Oy. J'obtiens:

d²x/dt² = k* x/(x² + y²)^3/2

d²y/dt² = k* y/(x² + y²)^3/2

avec k = q1q2/ 4πε₀

Comme il se doit, nous allons adimensionner ces deux équations en choisissant les variables caractéristiques suivantes:

l_c = rayon du noyau

t_c = l_c/c, avec c vitesse de la lumière

On opère donc les changements de variables X = x/l_c, Y = y/l_c, T = t/t_c
Le coefficient k est lui-même adimensionné, ce qui nous donne K = k*t_c²/l_c ³.
Ce qui nous donne finalement les équations suivantes:

d²X/dT² = K* X/(X² + Y²)^3/2

d²Y/dT² = K* Y/(X² + Y²)^3/2

Nous allons donc intégrer ce système d'équations différentielles, en utilisant la méthode RK4, maintenant bien connue! Représentons sur un schéma le type de courbe que nous obtiendrons:

Le noyau d'or est positionné à l'origine du référentiel xOy. La particule alpha est tirée à une ordonnée b. Cette valeur b est nommée le paramètre d'impact.
On remarque que la trajectoire est une branche d'hyperbole, ce qui était facilement déductible de la forme du système différentiel.
Notons aussi les caractéristiques nécessaires pour calculer l'angle de diffusion θ. A une distance suffisante du noyau, considérons la droite passant par O et parallèle à l'asymptote de l'hyperbole. Ces deux droites sont séparées par la distance b et forment avec l'axe des abscisses un angle θ, l'angle de diffusion recherché. On peut donc facilement établir que :

• si x est positif , θ = Arctg( (y - b)/|x|)
• si x est négatif, θ = π - Arctg( (y - b)/|x|)

Limitations du modèle:

Le modèle présenté ci-dessus est simplissime. Il souffre de plusieurs défauts majeurs, et de beaucoup plus de défauts mineurs:

• Le modèle ne prend pas en compte les interactions se produisant à proximité immédiate du noyau, qui ne sont pas des interactions coulombiennes. Pour des énergies assez grandes, lorsque la particule alpha approche très près du noyau (de l'ordre du fermi), les résultats du modèle ne sont pas corrects.
• Il ne tient pas compte des échanges d'énergie lors de l'interaction noyau - noyau
• Il ne tient compte que de l'interaction coulombienne. Il n'est donc pas généralisable à l'étude de particules non chargées, des neutrons par exemple.
• Ce modèle n'est pas relativiste. Pour calculer l'erreur commise, je vous encourage à calculer la vitesse d'un noyau alpha de 7 MeV...

Mais il reste cependant une approche intéressante pour comprendre la structure de la matière et pour interpréter l'expérience de Rutherford. Car Rutherford lui-même n'avait pas conscience de ces limitations....

Le programme

Le programme complet en C, qui utilise la librairie graphique Dislin pour le tracé graphique, est très classique. Son code source Rutherford.cpp est téléchargeable.

Résultats de simulation et commentaires

Voici un premier exemple de simulation, pour une particule d'énergie 7,7 MeV et un paramètre d'impact b = 1 unité caractéristique.

Un mot sur les unités caractéristiques utilisées :

• lc : j'ai utilisé comme "échelle" le rayon du noyau cible. Rappelons que la théorie quantique approxime le rayon d'un noyau par la formule r₀*A^1/3, avec r0 le rayon du noyau d'hydrogène (1,2 fermis environ) et A le nombre de masse du noyau cible (ici le noyau d'or, soit 197). Pour info (voir le programme), le rayon d'un noyau d'or est d'environ 7,4 fermis. J'aurais pu aussi choisir le fermi, ce qui n'aurait pas été très différent.
• tc : comme souvent en physique atomique ou nucléaire, la vitesse caractéristique est bien sur la vitesse de la lumière, même si nous nous posons clairement dans une hypothèse non relativiste.

Dans cette simulation, deux paramètres sont à explorer:

• le paramètre d'impact b : en faisant varier ce paramètre entre 0 et 10 (ou 15), on observe l'influence coulombienne noyau d'or / noyau d'hélium sur l'angle de diffusion. Plus b est faible, plus la force de répulsion est grande et plus l'angle de diffusion est grand. Pour b proche de 0, on observe même une réflexion totale de la particule alpha, ce qui avait surpris les expérimentateurs.
• l'énergie de la particule, exprimée classiquement en MeV, et donc sa vitesse initiale. Plus l'énergie cinétique est grande et plus l'angle de diffusion est faible pour un même paramètre d'impact. Attention toutefois au réalisme! Accélérer un noyau d'hélium pour lui donner une énergie de 100 MeV n'est pas trivial et l'on tomberait dans le domaine relativiste! L'énergie d'un alpha varie entre 1 et 10 MeV selon les sources radioactives utilisées. D'autre part, lorsque les deux noyaux sont très proches, d'autres interactions entrent en jeu (les interactions nucléaires) qui dépassent l'interaction coulombienne. le modèle utilisé devient donc inopérant.

Le programme Rutherford permet de simuler la trajectoire d'une seul particule au cours et après son interaction avec le noyau d'or. C'est un bon début pour simuler l'expérience de Rutherford, mais c'est largement insuffisant!
Pour simuler cette expérience, il faut trois modules:

• un générateur de faisceau de particules alpha à peu près réaliste. Il ne s'agit pas de les tirer en ordre serré, avec pour toutes la même valeur de paramètre d'impact. Les particules doivent être dispersées aléatoirement dans le faisceau pour simuler la répartition statistique constatée dans la réalité.
• un module d'interaction coulombienne. Celui du programme Rutherford fera bien l'affaire, avec ses limitations!
• un module de détection et de comptage, qui permettra de compter les particules en les distribuant par valeur d'angle de diffusion. C'est lui qui nous permettra de recueillir les données que vous exploiterez dans vos calculs de section efficace!

Le générateur de faisceau

Le rayon du faisceau est un paramètre du programme. Plus il est fin, au regard des dimensions nucléaires, plus l'angle de diffusion des particules sera élevé.
Pour assurer le réalisme de la simulation, il faut que les particules soient aléatoirement distribuées dans le faisceau. Pratiquement, cela implique que la valeur du paramètre d'impact doit être aléatoirement distribuée. On démontre (ceux qui veulent la démonstration peuvent me la demander..) que cela revient à écrire b = x*RayonFaisceau, x étant un nombre aléatoire compris entre 0 et 1. Le programme sera donc doté d'une routine de génération de nombres aléatoires, que j'ai emprunté à Numerical Recipes in C.
Le faisceau est tiré d'une distance suffisamment éloignée du noyau cible pour que l'on puisse considérer que les particules ne sont pas sous son influence coulombienne. J'ai fixé cette distance à 600 UC (unité caractéristique).
Enfin, on considérera que le faisceau est monocinétique, c'est à dire que toutes les particules alpha possèdent la même vitesse initiale et donc la même énergie.

Le système de détecteurs

Il s'agit de concevoir un mécanisme qui détecte toutes les particules, quelque soit leur angle de diffusion et qui les compte et les classe en fonction de cette valeur d'angle.
Pour reproduire relativement fidèlement le dispositif expérimental sans trop charger la barque de calculs, j'ai conçu un système de détecteurs d'ouverture angulaire de 10°, répartis sur un polygone de 36 cotés, qui couvre donc toute la périphérie de la cible. Ce système de détection est situé à une distance suffisante de la cible, pour que le calcul de l'angle de diffusion soit aussi précis que possible. Après quelques essais, j'ai fixé cette distance à 400 UC. Elle dépend en fait de la largeur du faisceau, mais devrait convenir pour des faisceaux de moins de 200 UC de rayon.
Chaque détecteur est muni d'un compteur.
A la fin de l'expérience, le cumul de comptage pour chaque compteur sera archivé dans un fichier, qui pourra faire l'objet de traitement ultérieur.

Le programme

Le programme Rutherford2 s'inspire bien sur du programme Rutherford. Il est téléchargeable ici.
A noter donc dans ce programme, la procédure de génération des nombres aléatoires (tirée du Numerical Recipes in C) et sa graine (de ma mouture, mais extrèmement classique!), qui pourront être réutilisées.
Attention lors de l'utilisation: les temps de calcul peuvent être longs! Avec les paramètres du programme, sur une machine Dell Precision M6400 (Core 2 Duo T9400 à 2,53 Ghz), je calcule la simulation pour 100 particules en 2'15" et pour 1000 particules en plus de 35' . Ne vous impatientez pas devant votre écran! Et pour les essais de mise au point, tirez 10 particules dans le faisceau...
Le paramètre de calcul déterminant est le pas deltat, mais il ne vaut mieux ne pas augmenter pour obtenir des résultats cohérents
Une précision concernant le tableau des compteurs. Ils sont numérotés de 0 à 17 pour les angles variant de 0 à 180° dans le sens trigo, par pas de 10°, et de 18 à 35 pour les angles variant de 0 à -180 par pas de -10°.

Résultats de simulation et commentaires

Voici un exemple de simulation:

Cette simulation est obtenue avec un faisceau de 100 particules de 8 MeV. Le faisceau est étroit (10 unités caractéristiques), ce qui explique les nombreuses diffusions. Le lecteur pourra refaire la simulation avec un faisceau plus large.
Vous l'aurez compris, le polygone vert (36 cotés, autant que de détecteurs) figure le système de détecteurs. Vous constatez un écrasement de la figure, alors que l'échelle montre sa symétrie. Il s'agit d'un effet du à la librairie Dislin qui produit des schémas anisotropiques, du moins tel que je l'utilise. Je n'ai pas trouvé dans la doc le moyen d'obtenir un tracé isotropique. Si quelqu'un a l'astuce....
Le point rouge en (0,0) représente la cible bien sur!
Dans le fichier RutherfordCompteurs.txt, produit par Rutherford2, sont stockés : le nombre de particules du faisceau sur la première ligne, et le nombre de particules détectées pour chaque détecteur sur les 36 lignes suivantes.

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