Scilab - Le circuit RLC

La physique du circuit RLC

Le programme de physique de terminale S comporte l'étude de plusieurs circuits: RL, LC et RLC. Ce dernier est le plus complet et le riche physiquement. L'objet de cette page est d'analyser la physique de ce circuit et de proposer sa simulation par un programme Scilab.
Considérons donc le circuit suivant, auquel j'applique la convention récepteur pour l'orientation des tensions:

Je ne tiendrais pas compte du générateur de courant qui n'est là que pour charger le condensateur C en positionnant le commutateur en position 1. Rôle important mais sans intérêt pour notre étude.
Donc, je charge le condensateur jusqu'à obtenir à ses bornes une tension Uc = E, tension de charge du condensateur. Puis je positionne le commutateur sur la position 2: c'est le t0 de l'expérience. Le but de notre étude est de déterminer ce qui se passe à partir de ce t0. Nous pouvons déjà noter les points suivants:

La continuité de la tension aux bornes du condensateur fait que la tension Uc est égale à E, il n'y a pas d'inversion de tension.
A t0 = 0, l'intensité i est nulle.

Avant de commencer l'étude, voyons à quels composants physiques nous avons à faire:

la résistance R : comme toute résistance, elle dissipe de l'énergie électrique sous forme de chaleur (le fameux effet Joule). Elle provoque donc l'amortissement du courant en empêchant le "mouvement perpétuel". Dans un circuit idéal, il n'y aurait pas de résistance et donc conservation de l'énergie totale du circuit ad vitam aeternam.
le condensateur C : il stocke et restitue des charges électriques, c'est à dire de l'énergie électrostatique. C'est un réservoir. Sa charge, comme sa décharge, ne sont pas des phénomènes instantanés. Ils suivent une loi exponentielle, que l'on retrouvera d'ailleurs dans le comportement de notre circuit. Le condensateur est caractérisé par la charge q qu'il peut emmagasiner.
la bobine (ou self ou inductance) L : la bobine L est aussi un réservoir d'énergie, mais elle stocke l'énergie sous forme magnétique. Elle s'oppose également, et c'est un point très important, à toute variation du courant i. Lorsque le courant augmente, elle réagit en retardant cette augmentation, en accumulant de l'énergie. Lorsque le courant diminue dans le circuit, elle réagit en déstockant son énergie pour s'opposer à cette diminution. En toute rigueur, une bobine présente aussi une résistance électrique, il faudra en tenir compte... Sur mon schéma, j'ai intégré cette résistance dans R.

Notre montage relie donc deux réservoirs d'énergie, l'un plein (le condensateur) et l'autre vide (la bobine) à l'origine des temps, à travers un composant qui dissipe de l'énergie. On peut donc supposer un transfert d'énergie entre les deux réservoirs, qui durera tant que cette énergie ne se sera pas toute dissipée dans la résistance.
Voyons cela de plus près:

à t0, établissement du circuit. Les charges négatives accumulées sur la plaque négative du condensateur se pressent d'aller combler les trous des charges positives de l'autre plaque. Ainsi né le courant i, dont vous savez tous qu'il dépend de la variation de la charge en fonction du temps, la célèbre ic = dq/dt, q étant la fonction représentant la variation de la charge en fonction du temps.
à l'instant t, très court après t0 (on verra de combien il est court..), le condensateur est vide, et c'est la bobine qui stocke l'énergie initiale, déduction faite de l'énergie dissipée dans la résistance.
Lorsque le condensateur est vide, la bobine déstocke son énergie et recharge le condensateur, toujours à travers la résistance qui dissipe et gaspille cette précieuse énergie.
Puis le cycle se répète tant qu'il y a de l'énergie.

On devine donc des oscillations d'énergie, mesurées par des oscillations de tension, d'intensité ou de charges électriques. On devine aussi que ces oscillations vont s'amortir plus ou moins rapidement selon la valeur de la résistance.
Voilà pour l'analyse physique, assez rapide. Voyons comment modéliser ce comportement étrange!

La modélisation du circuit RLC

C'est sans doute la partie la plus facile, du moins si l'on connait son cours... de première!
Appliquons donc la loi des mailles du célèbre Kirchhoff (sans oublier les 2 h et les 2 f!) à notre circuit, qui ne comprend qu'une maille d'ailleurs: Uc + Ur + Ul = 0.
Nous savons également exprimer la tension aux bornes de chaque élément du circuit, en fonction de i:

pour la résistance , Ur = R*i
pour la bobine, Ul = L*di/dt (je considère que la résistance interne de la bobine est incluse dans R)
pour le condensateur, Uc = q/C, sachant que i = dq/dt

Attention, mes notations ne sont pas très rigoureuses : i et q sont des fonctions du temps, il faudrait donc écrire i(t) et q(t). Il en va de même pour les tensions, bien sur....
A ce stade, il est possible d'établir plusieurs équations, qui décrivent l'évolution de la charge q(t) ou de la tension Uc(t). Voyons les différentes équations possibles:

en q(t), je peux écrire q/C + R*dq/dt + L*d(dq/dt)/dt = 0, soit en ordonnant selon le degré de la dérivée de q(t) : L*d²q/dt² + R*dq/dt + q/C = 0
en Uc(t), en notant que i = dq/dt et que q = C*Uc, je peux écrire : Uc + RC*dUc/dt + LC*d²Uc/dt² = 0, soit en ordonnant selon le degré de la dérivée de Uc(t): LC*d²Uc/dt² + RC*dUc/dt + Uc = 0

Vous constatez, sans suprise que la forme des deux équations est identique. Comme dans la plupart des manips de circuits, on visualise les évolutions avec un oscillo, et donc que l'on mesure des tensions, j'ai choisi de travailler avec l'équation en Uc(t). Pour travailler, nous retiendrons donc LC*d²Uc/dt² + RC*dUc/dt + Uc = 0 que je vais écrire:

d²u/dt² + (R/L)*du/dt + (1/LC)*u = 0

que je vais arranger en posant conventionnellement ω₀² = 1/LC et τ = 2L/R:

d²u/dt² + (2/τ)*du/dt + ω₀²*u = 0

Procédons maintenant à une résolution numérique de l'équation.

Le programme Scilab de simulation

Le langage Scilab possède un outil puissant de résolution des équations différentielles ordinaires (EDO) qui s'appelle ode(). Nous allons l'utiliser sans entrer dans les détails de son fonctionnement, qui relèvent de l'analyse numérique et ne sont donc pas dans le scope de cette page.
Précisons que ode() ne traite que des équations du premier ordre. Or il ne vous a pas échappé que notre équation est du deuxième ordre. On va donc procéder en rusant... Si vous ne comprenez pas bien ce qui suit, ce n'est pas grave. Le but est de faire de la physique pas de l'analyse numérique!
Partons donc de notre équation, que je vais réécrire d²u/dt² = -(2/τ)*du/dt - ω₀²*u. Je vais faire le changement de variables suivant : u1 = u et u2 = du/dt. Je noterai du1 = u2 et du2 = d²u/dt² = -(2/τ)*du/dt - ω₀²*u et donc finalement vous retrouverez dans le programme ces notations. Pour couper court à toute remarque sur la rigueur de la notation, je précise qu'il ne s'agit pas de notation différentielle...

Vous pouvez télécharger le code source du programme RLCSerie.sce. Il ne comporte aucune difficulté et peut être utilisé comme tous les programmes Scilab. Ce programme produit la courbe Vc = f(t), selon les paramètres V0, R, L et C que vous aurez saisi. Il affiche dans la fenêtre console les valeurs de ω₀, de τ et Q, le facteur qualité du circuit.

Pour illustrer la chose voici trois courbes, très différentes selon la valeur des différents paramètres:

Cette courbe a été obtenue avec les valeurs V0 = 5V, C = 0.22*10^-6 F, L = 4*10^-2 H et R = 0.1 ohm. Les oscillations de la tension sont à amplitude apparemment constante. C'est un régime pseudo-périodique.

Voyons une autre courbe, où seule la valeur de R sera différente:

Sur cette courbe, la résistance R vaut 10 ohm. Vous noterez une diminution progressive de l'amplitude des oscillations de la tension. C'est aussi un régime pseudo-périodique, mais avec un amortissement plus important (la valeur de R est plus grande).
Une dernière courbe, avec une valeur encore plus grande de R (900 ohm) :

Dans ce cas de figure, plus d'oscillation... C'est un régime apériodique. L'amortissement du à la résistance a eu raison des oscillations!

L'étude énergétique du circuit RLC

J'ai écris en début de cette page que ce circuit était essentiellement la connexion de deux réservoirs d'énergie qui s'échangeaient de l'énergie périodiquement, laquelle était dissipée par une résistance.
Vous savez sans doute que l'énergie stockée dans un condensateur était égale à Ec = (1/2)*C*Uc² ou encore Ec = (1/2C)*q², Ec, Uc et q étant là aussi des fonctions du temps.
Pour une bobine, l'énergie stockée est égale à Eb = (1/2)*L*i², Eb et i étant des fonctions du temps.
L'énergie totale du circuit, à chaque instant t, et en absence de dissipation par la résistance (on peut supposer qu'elle est nulle...) serait Et = Ec + Eb soit Em = (1/2)*(q²/C + L*i²).
Mais nous savons que ce n'est pas la réalité: la résistance dissipe de l'énergie. Comment cela apparait-il dans notre modèle? Revenons à notre équation différentielle, dans sa version initiale, soit:

Ri + L*di/dt + q/C = 0

Je vais multiplier les deux membres par i, sachant que i = dq/dt:

Ri² + L*i*di/dt + (1/C)*q*dq/dt = 0

Il ne vous aura pas échappé, en souvenir de vos cours d'analyse sur la dérivée et l'intégrale que i*di/dt est la dérivée par rapport au temps de (1/2)i². De même pour le terme en q. Je peux donc écrire mon équation:

Ri² + d((1/2)*L*i²)/dt + d((1/2C)*q²)dt = 0

Oh miracle, je vois apparaitre les expressions de l'énergie de la bobine et du condensateur, ce qui me permet d'écrire:

d(Eb + Ec)/dt = -Ri²

J'obtiens donc que la variation d'énergie totale du circuit est une diminution (elle est négative), et qu'elle est proportionnelle à R. L'expression est d'ailleurs bien connue et désigne l'effet Joule. Mon modèle physique est cohérent. Il témoigne bien de la dissipation d'énergie par effet Joule.

Voici la courbe d'évolution des différentes énergies du circuit RLC: Ec,(en noir) , Eb (en bleu) et l'énergie totale Et (en rouge):

Le tracé est calculé pour V0 = 5V, C = 0.22*10^-6 F, L = 4*10^-2 H et R = 10 ohm. Le programme RCLEnergie.sce, qui permet ce tracé est téléchargeable ici .
Sur cette courbe, la dissipation d'énergie apparaît clairement à travers la décroissance de la courbe d'énergie totale.
Voyons plus en détail ce que cela donne, toujours avec les mêmes paramètres:

A t=0, l'énergie du condensateur est maximum (en noir). L'énergie de la bobine (en bleu) est nulle. Lorsqu'on ferme le circuit, le condensateur se décharge dans le circuit. La bobine accumule une partie de l'énergie électrostatique du condensateur sous forme d'énergie magnétique. L'autre partie est dissipée par la résistance. Ce transfert a lieu entre t0 et T1. A T1, le condensateur est déchargé, c'est maintenant la bobine qui libère son énergie, ce qui provoque la charge du condensateur. Et ce jusqu'à T2. Puis le cycle recommence... Pas tout à fait identique, car vous constatez que l'énergie initiale du second cycle est un peu inférieure à l'énergie à t0. La différence est partie en chaleur dans la résistance....
Je retrouve ainsi sur mon modèle, l'explication physique théorique du premier chapitre: c'est beau la physique numérique!
Pour que le circuit RLC oscille longtemps, il faut donc lui injecter de l'énergie, en quantité au moins équivalente à celle qu'il dissipe par l'intermédiaire de sa résistance. Cela s'appelle forcer les oscillations. C'est ainsi qu'on obtient tout un ensemble de circuits électroniques oscillants.

Quelques expériences

A l'aide des programmes Scilab que vous pouvez télécharger ci-dessus je vous invite aux manips suivantes:

Faire varier la valeur de R pour identifier et tracer les différents régimes: pseudo-périodique, critique, apériodique. Identifier expérimentalement la valeur de la résistance critique. Attention, ne pas donner de valeur nulle à R, vous provoqueriez une erreur de programme (division par 0!). Par contre, vous pouvez lui donner une valeur très faible.
Dans le cas d'un régime pseudo-périodique, déterminer expérimentalement (sur les courbes) la pseudo-période du circuit.
Tracer les courbes uc(t) et E(t) en faisant varier les valeurs relatives de L et de C, histoire de jouer avec les réservoirs.
Faire un programme Scilab, qui trace la valeur de Q en fonction de L et de C.

et toutes celles que vous pourriez inventer!