S'il est un ensemble d'équations célèbres, c'est bien les quatre équations dites "équations de Maxwell" ! Elles gouvernent notre vie quotidienne bien plus qu'une autre célèbre équation qui figure sur les tee-shirts des étudiants en physique. Elles sont simples, belles et tellement bavardes. Sans elles, pas de radio, télé, radar, wi-fi et j'en passe.
J'ai eu envie de leur consacrer cette page pour essayer de dédramatiser leur étude, qui rébute beaucoup de jeunes étudiants qui ont peine à démêler la physique de l'expression mathématique.
Les équations de Maxwell sont des équations différentielles vectorielles qui font grand usage des opérateurs différentiels, en particulier de l'opérateur \( \vec{\nabla} \). Je vais donc faire ici un bref rappel et je vous renvoie à la page sur les opérateurs différentiels. Notons que ces équations peuvent aussi s'exprimer sous forme intégrale, ce qui peut s'avérer utile pour certains calculs. Nous utiliserons ici la forme différentielle, sachant que la signification physique des deux formes est fondamentalement la même.
Soit une base dans \( \mathbb{R}^3\) \( (\vec{e_x}, \vec{e_y}, \vec{e_z}) \), l'opérateur nabla \( \vec{\nabla} \) se définit en coordonnées cartésiennes par \( \vec{\nabla} = \vec{e_x} \dfrac{\partial}{\partial x} + \vec{e_y} \dfrac{\partial}{\partial y} + \vec{e_z} \dfrac{\partial}{\partial z}\).
Bon , attention : j'écris \( \vec{\nabla} \) comme un vecteur, mais en fait ce n'est pas un vrai vecteur, il n'en a pas toutes les propriétés. Par exemple, dans notre espace vectoriel habituel, le produit scalaire de deux vecteurs est commutatif, mais ce n'est pas le cas du "produit scalaire" \( \vec{\nabla}.\vec{A} \not= \vec{A}.\vec{\nabla} \).
Il est possible d'exprimer les opérateurs divergence, rotationnel et laplacien que l'on retrouve dans l'expression des équations de Maxwell en fonction du seul opérateur \( \vec{\nabla} \). Si j'appelle \( \vec{A} \) un champ vectoriel, j'ai :
Voici l'expression moderne des équations de Maxwell, due à Heaviside, sous leur forme différentielle et dans un espace local en présence de charges électriques et de courants électriques :
\( \vec{\nabla} . \vec{E} = div(\vec{E}) = \dfrac{\rho}{\epsilon_0} \), l'équation de Maxwell-Gauss
\( \vec{\nabla} . \vec{B} = div(\vec{B}) = 0 \), l'équation de Maxwell-Thomson
\( \vec{\nabla} \times \vec{E} = \vec{rot}(\vec{E}) = -\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t} \), l'équation de Maxwell-Faraday
\( \vec{\nabla} \times \vec{B} = \vec{rot}(\vec{B}) = \mu_0 \epsilon_0 \dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t} + \mu_0 \vec{j} \), l'équation de Maxwell-Ampère
Ces équations sont valables dans le vide et dans les milieux matériels. Toutefois, sauf à faire des approximations seulement valables sous certaines conditions dans les gaz et les milieux conducteurs, les équations de Maxwell dans les milieux matériels sont un peu plus compliquées.
Elles comportent des dérivées partielles dans l'espace (dans les divergences et rotationnels) et dans le temps. Ces deux variables sont indépendantes : il est possible de figer le temps et d'étudier les deux champs dans l'espace, ou bien de de poser en un point et de suivre l'évolution de ces deux champs. Les deux processus d'observation sont compatibles avec ces équations. Cette remarque a une certaine importance physique, mais aussi mathématique : elle nous autorise comme on le verra pour établir l'équation d'Alembert à permuter l'ordre des dérivées.
On démontre en analyse vectorielle qu'un champ vectoriel est entièrement déterminé en tout point de l'espace par sa divergence et son rotationnel et les conditions aux limites à l'infini. Cela s'applique aux champs \( \vec{E} \) et \( \vec{B} \) et donc cela signifie que les équations de Maxwell déterminent entièrement ces deux champs.
Ces équations sont toutes linéaires et donc que n'importe quelle combinaison linéaire de solutions est aussi une solution.
En examinant les deux dernières équations, Maxwell-Faraday et Maxwell-Ampère, on remarque que les champs \( \vec{E} \) et \( \vec{B} \) sont couplés dans leur variation. Ils forment le champ électromagnétique. Et les sources de ce champ électromagnétique sont les charges électriques de densité \( \rho \) et les courant électriques \( \vec{j} \).
Une dernière remarque d'ordre général et physique : les équations de Maxwell sont heureusement compatibles avec l'équation de conservation de la charge électrique locale. En effet, \( div(\vec{rot}(\vec{B})) = \mu_0 \epsilon_0 \dfrac{\partial (div(\vec{E}))}{\partial t} + \mu_0 div(\vec{j}) \). Or \( div(\vec{rot}) = 0 \) et d'après Maxwell-Gauss \( div(\vec{E}) = \dfrac{\rho}{\epsilon_0} \), ce qui me donne \( \mu_0 \epsilon_0 \dfrac{\partial}{\partial t} (\dfrac{\rho}{\epsilon_0}) + \mu_0 div(\vec{j}) = 0 \) soit \( \dfrac{\partial \rho}{\partial t} + div(\vec{j}) = 0 \), l'équation de conservation de la charge...
L'oeuvre en électromagnétisme de James Maxwell (1831 - 1879), physicien et mathématicien écossais, est une oeuvre de synthèse. Il unifia les lois de l'électricité et du magnétisme connues de son temps pour en faire un corpus mathématique cohérent de vingt équations, présentées en 1864 à la Royal Society.
C'était un théoricien. Ses prédecesseurs ont fait le travail expérimental, pour l'essentiel Faraday et Ampère. Il compila aussi le travail du prince des mathématiciens, Gauss, à propos de l'électrostatique.
Il revient en effet à Carl Gauss (1777 - 1855) d'avoir établi vers 1830 une des lois fondatrices de l'électrostatique, autrement dit le théorème de Gauss que nous verrons plus loin.
William Thomson (1824 - 1907), Lord Kelvin pour tous les physiciens, apporta lui aussi sa contribution à cette oeuvre. Il démontra que la divergence du champ magnétique était toujours nulle, ou plutôt selon sa formulation que le flux du champ magnétique à travers une surface fermée était nul.
Michael Faraday (1791 - 1867) établit les principaux résultats concernant l'influence d'un aimant sur un fil parcouru par un courant en 1821 et le phénomène d'induction électromagnétique en 1831. Par ses résultats, ce fut un des contributeurs déterminants à l'étude de l'électromagnétisme.
André-Marie Ampère (1775 - 1836), professeur à l'X et inventeur entre autres des termes "courant" et "tension", apporta lui aussi une contribution majeure aux travaux de Maxwell. Il définit les fondements de l'électrodynamique à partir de 1820, en partant comme Faraday, des travaux du chimiste danois Orsted sur l'effet d'un courant électrique parcourant un fil. C'est sur le théorème d'Ampère, qui porte sur la génération d'un champ magnétique par un courant électrique, que Maxwell apporta sa contribution originale en faisant apparaître la notion de courant de déplacement.
Enfin, il est indispensable de mentionner le travail de synthèse de la synthèse, le passage de 20 équations assez illisibles à 4 équations limpides, mené par Oliver Heaviside (1850 - 1925). Ce physicien génial et autodidacte fut le sauveur de tous les étudiants en physique en introduisant le calcul opérationnel et les 4 équations de Maxwell sous leur forme différentielle. Rien que pour cela, je serais partisan d'appeller ces équations "équations de Maxwell-Heaviside".
\( \vec{\nabla} . \vec{E} = div(\vec{E}) = \dfrac{\rho}{\epsilon_0} \)
Mathématiquement, et selon la définition de la divergence, cela signifie que la somme des variations du champ électrique sur les trois axes de l'espace cartésien est proportionnelle à la densité de charges électrique en un point de cet espace.
La divergence du champ électrique en un point quelconque de l'espace est proportionnelle à la densité de charges électriques en ce point.
La valeur de la divergence d'un champ en un volume élémentaire nous donne une indication sur l'allure des lignes de champ en ce volume. Si la divergence est positive, nous sommes en présence d'une source de champ et les lignes sortent de ce volume et divergent. Si la divergence est négative, nous sommes en présence d'un puit et les lignes de champ convergent vers ce volume et entrent dans le volume. Si la divergence est nulle, alors les lignes de champs ont parallèles entre elles, elles entrent et sortent du volume sans modification.
L'équation de Maxwell-Gauss est l'expression différentielle du théorème de Gauss en électrostatique qui stipule que le flux du champ électrique passant à travers une surface fermée quelconque est proportionnel à la charge électrique contenue dans le volume fermé par cette surface.
Prenons un exemple qui peut être parfois piégeux. Considérons une charge "ponctuelle" dans un espace vide. Pour savoir ce qu'il faut penser du terme "ponctuelle", voir ici. Le champ électrique généré par cette charge est radial et s'exprime par \( \vec{E} = \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0} \dfrac{q}{r^2} \vec{r}\). Remarquons que la densité de charge \( \rho \) est entièrement incluse dans la charge "ponctuelle", c'est à dire dans un "point" physique. L'équation de Maxwell-Gauss nous dit que la divergence du champ électrique est non nulle au "point" de l'espace où est "localisée" la charge mais qu'elle est nulle partout ailleurs ! Les guillemets sont là pour dire qu'il ne faut pas prendre les termes "point" et "localisée" au sens mathématique des termes mais plutôt comme des infiniment petits physiques.
Ceci pour dire que si l'on vous demande la valeur de la divergence du champ électrique dans un endroit où il n'y a pas de charge électrique, la divergence est toujours nulle !
\( \vec{\nabla} . \vec{B} = div(\vec{B}) = 0 \)
La divergence du champ magnétique en un point quelconque de l'espace est nulle.
D'abord, un petit rappel concernant le champ magnétique que nous notons \( \vec{B} \). Le champ magnétique n'est pas créé par des charges "magnétiques", analogues aux charges à l'origine du champ électrique, mais par des courants électriques.
Raisonnons par analogie avec le champ électrique: sa divergence en un point est proportionnelle à la densité de charge en ce point. Ce qui laisse supposer que les charges électriques existent et soient à l'origine de ce champ.
Exprimer que la divergence du champ magnétique est toujours nulle, c'est exprimer qu'il n'existe pas de charge "magnétique" que l'on pourrait isoler, de monopôle magnétique, comme il existe un électron, charge électrique unitaire. Du moins, c'est que l'on dit classiquement en prépa et en licence. En fait, rien n'interdit dans les lois de la physique l'existence de monopôles magnétiques. En électrodynamique quantique, on parle de monopôles de Dirac et la théorie leur prédit même certaines caractéristiques. Mais pour l'instant (2016), personne n'a pu exhiber un monopôle magnétique...
C'est aussi exprimer qu'en un point quelconque de l'espace, le flux du champ magnétique sortant d'un point ou d'un volume élémentaire est strictement identique au flux entrant en ce point ou ce volume élémentaire. On dit alors que le champ magnétique est à flux conservatif.
Une dernière remarque d'ordre physico-mathématique. Revenons à cette identité vectorielle \( div(\vec{rot}) = 0 \). Si \( div(\vec{B}) = 0 \), on peut toujours exhiber un vecteur \( \vec{A}\) tel que \( \vec{B} = \vec{rot} \: \vec{A}\ \). On dit alors que \( \vec{A}\) est le potentiel vecteur de \( \vec{B}\). Cette notion est fondamentale en électromagnétisme mais je ne m'étendrai pas ici.
\( \vec{\nabla} \times \vec{E} = \vec{rot}(\vec{E}) = -\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t} \)
Le rotationnel du champ électrique en un point quelconque de l'espace est égal à l'opposé de la variation temporelle du champ magnétique.
Premier constat : la variation temporelle du champ magnétique provoque une modification du champ électrique. Et j'insiste sur le terme "variation" : nous avons affaire à une dérivée temporelle, c'est à dire que si le champ magnétique est constant, alors \( \vec{rot}(\vec{E}) = \vec{0} \).
Revenons maintenant à la définition du rotationnel. Il quantifie la tendance d'un champ vectoriel à "tourner" autour d'un point. Et si vous reprenez l'expression en coordonnées cartésiennes, vous observerez que chacune de ses composantes x, y ou z indique sa tendance à "tourner" plus ou moins vite dans le plan perpendiculaire. Par exemple, si la composante en x est la plus grande, le champ "tourne" le plus dans le plan yOz.
L'équation de Maxwell-Faraday modélise un phénomène bien connu : l'induction. Prenez un solénoïde et reliez ses extrémités à un galvanomètre sensible. Déposez un aimant près du solénoïde : pas de réaction sur le galvanomètre. Maintenant faites faire à votre aimant un va et vient à l'intérieur du solénoïde : vous constaterez une déviation du galvanomètre. En bougeant l'aimant, vous avez provoqué une variation du champ magnétique dans le solénoïde et donc une variation du champ électrique et la création d'un courant électrique.
Le signe - devant la dérivée du champ magnétique indique que la variation du champ électrique est opposée à celle du champ magnétique.
\( \vec{\nabla} \times \vec{B} = \vec{rot}(\vec{B}) = \mu_0 \epsilon_0 \dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t} + \mu_0 \vec{j} \)
Le rotationnel du champ magnétique en un point quelconque de l'espace est proportionnel à la variation temporelle du champ électrique à laquelle on ajoute le courant électrique local.
Cette équation nous renseigne sur la nature des sources du champ magnétique : une variation temporelle du champ électrique, assimilée à un courant, et la présence de courant électrique. On retrouve là le résultat d'une expérience célèbre. Celle d'Orsted, qui constata que la circulation d'un courant électrique provoquait la rotation de l'aiguille d'une boussole, le deuxième terme de droite de notre équation.
Mais par contre, le terme \( \mu_0 \epsilon_0 \dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t} \) n'a rien d'expérimental. C'est Maxwell himself qui a introduit ce terme pour rendre cohérent son ensemble d'équations et en l'assimilant à un courant électrique dit "courant de déplacement", soit \( \vec{j}_D = \epsilon_0 \dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t} \), ce qui nous permet de ré-écrire l'équation de Maxwell-Ampère \( \vec{rot} \: \vec{B} = \mu_0 (\vec{j}_D + \vec{j}) \). Ce terme signifie qu'une variation du champ électrique peut produire un champ magnétique, même en l'absence de courant électrique.
On ne peut pas aborder les équations de Maxwell sans mentionner l'équation de propagation des ondes électromagnétiques qui en découle directement !
L'équation de D'Alembert, qui décrit la propagation du champ électrique et du champ magnétique dans le vide en absence de charges électriques, s'exprime sous la forme :
\( \Delta \: \vec{E} - \dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = \vec{0}\) pour le champ électrique
\( \Delta \: \vec{B} - \dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2} = \vec{0}\) pour le champ magnétique
On définit l'opérateur "d'Alembertien", noté \( \Box \) et égal à \( \Box = \Delta - \dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial^2}{\partial t^2}\), ce qui permet de simplifier l'écriture sous la forme \(\Box \vec{E} = \vec{0} \) et \(\Box \vec{B} = \vec{0} \), avec \( c = \dfrac{1}{\sqrt(\epsilon_0 \mu_0)} \)
Rappelons aussi que l'opérateur \( \Delta \) peut s'écrire \( \nabla^2 \) et donc que l'équation de D'Alembert peut aussi s'écrire avec le seul opérateur nabla.
Dans la page sur les opérateurs différentiels, je vous ai indiqué une formule d'analyse vectorielle utile : \( \vec{rot} \: \vec{rot} = \vec{grad} \: div - \Delta \). Il est temps de s'en servir.
Partons de l'équations de Maxwell-Faraday en absence de charges électriques qui nous dit que \( \vec{rot} \: \vec{E} = -\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t} \).
Calculons \( \vec{rot} \: \vec{rot}\: \vec{E} = \vec{rot}(-\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}) \). Or, parce que les variables sont indépendantes, je peux inverser l'ordre des dérivations et écrire \( \vec{rot}(-\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}) = -\dfrac{\partial}{\partial t}\vec{rot}\vec{B} \).
L'équation de Maxwell-Ampère en l'absence de charges électriques me dit que \( \vec{rot} \: \vec{B} = \mu_0 \epsilon_0 \dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t} \), d'où je peux écrire que \( \vec{rot} \: \vec{rot} \: \vec{E} = -\mu_0 \epsilon_0 \dfrac{\partial}{\partial t}\dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t} \), soit encore :
\( \vec{rot} \: \vec{rot} \: \vec{E} = -\mu_0 \epsilon_0 \dfrac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} \).
Si je reprends mon égalité vectorielle, j'ai donc \( -\mu_0 \epsilon_0 \dfrac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = \vec{grad}(div \: \vec{E}) - \Delta \: \vec{E} \). L'équation de Maxwell-Gauss me dit que \( div \: \vec{E} = 0 \) et donc que \( -\mu_0 \epsilon_0 \dfrac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = -\Delta \: \vec{E} \). Ce qui me donne finalement l'équation :
\( \Delta \: \vec{E} \: - \:\mu_0 \epsilon_0 \dfrac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = \vec{0} \).
CQFD !
La démonstration avec le champ magnétique est du même tonneau, faites là pour vous entrainer !
Nous verrons comment résoudre l'équation de D'Alembert par une méthode aux différences finies dite "FDTD" pour "Finite-Difference Time Domain" et sa signification physique.
Je suis très loin d'avoir épuisé le sujet ! Les équations de Maxwell vous donneront l'occasion de très longs et pénibles calculs vectoriels. Je vous conseille vivement de réviser votre analyse vectorielle et opérateurs différentiels avant de vous y atteler.
Si vous voulez vous pencher plus avant sur le sujet, je vous propose les lectures suivantes:
Contenu et design par Dominique Lefebvre - tangenteX.com novembre 2016 
Contact : PhysiqueX ou 
Cette œuvre est mise à disposition selon les termes de la Licence Creative Commons Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modification 3.0 France.