Diffraction par une fente rectangulaire

Généralités

La diffraction est un phénomène caractéristique des mouvements ondulatoires. On le constate pour les onde sonores, pour les ondes électromagnétiques (radio, lumière, rayons X) et aussi, plus mystérieusement (du moins en physique classique) pour des faisceaux d'électrons, neutrons ou d'autres particules (même des molécules!). C'est mystérieux en physique classique car on ne voit pas bien comment des particules peuvent adopter un comportement ondulatoire. Ce qui est tout aussi mystérieux, c'est qu'on a de bonnes raisons de croire (toujours en physique classique) que la lumière est formée de "graines", les photons. Ainsi naquit le célèbre paradoxe, nommé "dualité onde corpuscule", heureusement levé maintenant en physique quantique.
La diffraction s'observe lorsque une onde rencontre sur son chemin un obstacle de taille similaire en ordre de grandeur à sa longueur d'onde. Par exemple, on observe une diffraction lorsque un rayon lumineux croise un cheveu ou une fente fine mais pas lorsqu'elle frappe un mur (sans trou le mur !). Autre exemple avec une extension plus grande, lorsque la houle frappe les digues d'entrée d'un port (plusieurs dizaines de mètres, voire centaines de mètres).
On peut provoquer une diffraction avec beaucoup de choses: un fil, un trou, une fente, un réseau (des rayures très fines, gravées très serrées sur du verre ou du plastique), un rideau transparent (un réseau de fils...), des digues, une porte, un arbre, une maison... Bref n'importe quoi qui se trouve sur le chemin d'une onde et dont la taille est comparable à la longueur d'onde de l'onde incidente.
Dans cette page, je vais tenter de vous présenter le phénomène de diffraction lumineuse selon le programme de TS. En TS, on présente, sans le dire généralement, la diffraction de Fraunhofer. C'est un cas particulier et simplificateur, dans lequel on considère que les rayons lumineux sont parallèles et que la figure de diffraction est observée sur un écran placé à l'infini (i.e. les rayons diffractés sont eux aussi parallèles !). Bien sur, l'infini, sur le plan expérimental, ce n'est pas gagné ! Alors on se place à une distance suffisamment grande ( de l'ordre du mètre) ou/et on utilise des artifices optiques (on se met dans le plan focal objet d'une lentille convergente placée entre l'objet diffracteur et l'écran).
L'objet diffracteur est généralement une fente rectangulaire étroite de largeur a et de hauteur b (c'est la désignation traditionnelle). Mais on montre aussi la diffraction par un trou circulaire, assez spectaculaire par ses anneaux concentriques, formant la célèbre "figure d'Airy". Nous allons ici nous limiter à la diffraction d'une onde lumineuse monochromatique par une fente rectangulaire.

Analyse physique

Le phénomène de diffraction, on l'a dit ci-dessus, dépend de plusieurs paramètres:

la géométrie de la fente: sa largeur et sa hauteur. On verra que la diffraction par une fente carrée ou rectangulaire n'est pas la même.
la longueur d'onde de la lumière incidente $ \lambda $, supposée monochromatique (facile maintenant avec un laser!)
la distance, notée classiquement D, entre la fente et l'écran.

Les grandeurs physiques que l'on mesure expérimentalement sont:

l'intensité lumineuse des tâches de diffraction formées sur l'écran
la largeur des tâches

Voyons comment la théorie optique articule ces différentes données.
Pour étudier la diffraction, on utilise le principe de Huygens-Fresnel et la théorie de Kirchhoff. Je n'ai pas envie de reprendre ici les calculs, alors je vous branche sur ce cours de l'UPMC qui développe le tout. La page Wikipedia correspondante (http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorie_de_la_diffraction) est beaucoup moins complète!
De tout ça, retenons quelques formules que nous allons utiliser pour simuler le phénomène et pour analyser nos résultats:

l'intensité I(x,y) du signal lumineux réfracté, par une fente rectangulaire (remarquez la fonction sinc, pour sinus cardinal, qui est équivalente à sin(x)/x): $ I (x,y) = I_0sinc^2(\pi a \dfrac{x}{\lambda D})sinc^2(\pi b \dfrac{y}{\lambda D}) $ en unités SI (1)
la relation entre l'écart angulaire $ \theta $ (angle sous lequel est vue la moitié de la tâche centrale depuis la fente) : $\theta = \dfrac{\lambda}{a} $ en unité SI (2)
la largeur de la tâche centrale de diffraction, en effectuant l'approximation des petits angles $ tan(\theta) \approx \theta $ : $ L = 2\lambda \dfrac{D}{a} $ en unités SI (3)

Sa modélisation

L'objet du projet de simulation est de visualiser les différentes tâches de diffraction d'une lumière monochromatique par une fente, rectangulaire ou carrée.
On s'appuiera donc sur l'équation (1) qui donne l'intensité lumineuse I(x,y), en posant I₀ = 1 par convention. Nous introduirons le paramètre $ K = \dfrac{\pi}{\lambda D} $ et utiliserons les unités SI.
Pour visualiser les différentes intensités lumineuses, j'utilise la technique des courbes de niveau, qui figurent chacune les zones du plan I(x,y) pour lesquelles l'intensité I est égale (comme les lignes de niveau d'une carte désignent les zones d'altitude égale).

Le programme Scilab

Le programme Scilab est très simple, dans la mesure où Scilab offre en standard les outils nécessaires dont nous avons besoin. Le code diffraction1.sce téléchargeable ici. Il permet de saisir les paramètres physiques que nous allons faire varier:

la largeur a de la fente (en mm)
la hauteur b de la fente (en mm)
la longueur d'onde de la lumière incidente (en nm)
la distance fente - écran (en m)

La zone d'affichage des tâches est fixée par les constantes XMIN, XMAX, YMIN et YMAX, respectivement -10,10,-10,10 dans le code. Les unités sont de mm. Dans vos manipulations, vous serez peut être amené à devoir changer ces valeurs: n'hésitez pas!
Vous pourrez également modifier le nombre de niveaux de visualisation, actuellement fixé à 100. Ne l'augmentez pas trop, car la figure devient vite illisible. Si vous le diminuez trop, vous ne verriez plus que la tâche principale centrale ! Ah oui, le calcul prend quelques secondes....

Quelques expériences

Pour fixer les idées, voici la figure de diffraction obtenue avec les paramètres suivants:

a = 0.1 mm
b = 0.2 mm
$ \lambda $ = 650 nm (un laser rouge)
D = 1 m

$diffraction1$

La largeur théorique de la tâche principale sera en fonction des paramètres et de l'équation (3) L = 2*650*10^-9*1/10^-4 = 13*10^-3 m ou 13 mm. En regardant la figure, on constate que c'est bien la largeur de tâche que l'on trouve.
Maintenant, à vous de jouer!
Vous pouvez commencer par faire varier la longueur d'onde dans le visible, en examinant son influence sur la largeur de la tâche.
Puis faire varier la largeur de la fente et le rapport a/b. Vous pourrez vérifier la règle selon laquelle la diffraction est d'autant plus importante que l'extension de la fente (sa largeur en l'occurrence) est proche de la longueur d'onde de l'onde incidente. Attention, vous allez obtenir des figures un peu bizarres, pour lesquelles il faudra modifier la fenêtre d'affichage.
Vous pouvez aussi tracer la figure de diffraction d'une fente carrée. La tâche principale est ... carrée!

$diffraction2$

Seriez-vous capable d'écrire un programme qui trace la figure de diffraction d'une fente circulaire, pour obtenir une figure d'Airy ?

Le programme Maple

Le code

Le programme Maple est encore plus simple que le programme Scilab! Il est téléchargeable ici. Les paramètres de l'expérience sont définis dans le code source. Vous pouvez bien sur les modifier ou prévoir une saisie par l'opérateur.

Quelques expériences avec Maple

Pour fixer les idées, voici la figure de diffraction obtenue avec les paramètres suivants:

a = 0.1 mm
b = 0.2 mm
$ \lambda $ = 650 nm (un laser rouge)
L = 1 m

$DiffractionMaple$

Sympathique, non! Maintenant, à vous de jouer!