Les dérivées

Définitions

Définition de la dérivée

Dérivée successives et classe de fonctions

Interprétation géométrique de la dérivée

Les formules générales de dérivation

Dérivée d'une somme, d'un produit, d'un quotient

Dérivée d'une fonction réciproque

Dérivée d'une fonction composée

Tableau de quelques dérivées usuelles

Vous trouverez dans cette page les dérivées des fonctions les plus usuelles, ainsi que leurs primitives.

Théorème des accroissements finis

Il s'agit du célèbre théorème de Lagrange:

Si la fonction f(x) est continue sur le segment [a,b] et dérivable en tout point intérieur de ce segment, alors il existe au moins un point c compris entre a et b, a < c < b, tel que f(b) - f(a) = f'(c)(b - a).

Ce théorème, comme les autres, est à savoir par coeur.... En passant j'aime bien la démonstration de ce théorème que donne N. Piskounov dans "Calcul différentiel et intégral Tome 1" chez Mir. Les éditions Mir sortaient des bouquins de math superbes. Je suis sur qu'il en traine encore beaucoup chez les vieux scientifiques (disons ceux de 50 ans et plus!)

Les développements limités

En physique, le développement limité (autrement nommé DL) sert généralement à linéariser une fonction afin de traiter une équation différentielle de façon analytique. En effet, la plupart des équations différentielles issues des modèles physiques sont non-linéaires. Et cela pose un problème considérable pour leur étude! Dans la mesure du possible, on essaie de linéariser l'équation. Pour illustrer cette problématique, je vais prendre un cas très simple, connu des élèves de TS: il s'agit de l'équation du pendule simple.

Tout le monde sait que l'équation différentielle qui décrit son mouvement est de la forme d²θ/dt +ω₀²sinθ = 0. Cette équation est non-linéaire à cause du terme en sinθ qu'il serait sympa de virer... Bien sur, n'importe quel élève de TS (encore lui!) nous dira qu'on fait l'approximation des petits angles en posant sinθ approximativement égal à θ . En passant, il oubliera peut-être de poser l'angle en radian, ce qui donne des résultats amusants! Oui, mais pourquoi l'approximation des petits angles? L'application d'un petit DL sur la fonction sinus nous dira pourquoi, et accessoirement nous indiquera l'erreur ainsi faite et nous permettra de comprendre les restrictions d'utilisation en fonction de la valeur de θ.

Si on se fait un petit DL en appliquant la formule donnée ci-dessus sur sinθ , on obtient : sinθ= θ/1! - θ³/3! + ... + (-1)^pθ ^2p+1/(2p+1)! + θ^2p+2ε(θ). Ainsi donc, écrire sinθ = θ c'est déjà faire une erreur de θ³/6 si on s'en tient au terme d'ordre 3, ce qui n'est pas vraiment négligeable dès que θ dépasse quelques dixièmes de radian...