Vous avez sans doute déjà vu des serres, dans les champs, les jardins ou bien au Jardin des Plantes du Muséum d'Histoire Naturelle. Pour les plus belles, il s'agit de chassis métalliques recouverts de vitres de verre ou de plexiglass. Dans les champs, il peut s'agir de feuilles de plastique tirées sur des arceaux. Dans tous les cas, l'objectif est le même : garder les plantes au chaud, tout relatif, même en hiver, en profitant de tous les rayons du Soleil.
Comment est-ce possible ? Certains matériaux courants, le verre, le plexiglass et d'autres, ont la propriété intéressante d'être transparents au rayonnement visible, comme le rayonnement solaire, mais plus ou moins opaques au rayonnement infrarouge. Ces deux rayonnements sont de même nature, des ondes électromagnétiques, qui différent seulement par leur longueur d'onde. Ainsi, dans une serre, le rayonnement solaire chauffe l'air et le sol, et cette chaleur est retenue dans la serre car son revêtement ne laisse pas passer les infrarouges émis par l'air et la terre chaudes. Monsieur de Saussure en 1779, puis Fourier en 1824, avaient constaté le phénomène et tenté de l'expliquer dans leurs termes, assez explicites.
L'effet de serre est apparu récemment dans les conversations et dans les revues scientifiques à propos du réchauffement climatique. Depuis Fourier, en 1824, nous savons que le CO2 atmosphèrique joue le même rôle que le verre de notre serre, et garde la Terre à une température vivable. En fait, plusieurs gaz contribuent à l'effet de serre, en premier lieu et de loin, la vapeur d'eau. Le débat d'aujourd'hui porte sur le rôle de l'augmentation de la concentration en CO2 atmosphérique dans l'augmentation moyenne de la température terrestre (voir aussi cette page de Tangentex.com sur le sujet).
Ici, nous allons tenter de modéliser, de façon très très simplifiée, l'effet de serre imputable au CO2 présent dans notre atmosphère.
Pour aborder la physique de l'effet de serre, nous allons utiliser
plusieurs lois qui gouvernent l'interaction matière - rayonnement et
plus particulièrement l'absorption et l'émission de rayonnement
électromagnétique par un corps noir.
Rappelons qu'on appelle "corps noir" tout corps qui absorbe totalement
tout rayonnement électromagnétique incident, quelque soit sa fréquence.
C'est un concept idéal mais que l'on utilise fréquemment avec une très
bonne approximation pour modéliser les interactions matière-rayonnement.
Voici un bref résumé des lois de Stefan, Kirchhoff et Planck qui nous
permettront de travailler.
La loi de Stefan, qui date de 1879, exprime la puissance totale
rayonnée par un corps noir par unité de surface, en fonction de la
température de ce corps noir. Elle s'exprime par :
\( P = \sigma T^4 \)
La constante \( \sigma \) est la constante de Stefan-Boltzmann, qui vaut
\( \sigma = \dfrac{2 \pi^5 k^4}{15 h^3 c^2}\). On y retrouve les
principales constantes de la physique : k, la constante de Boltzmann, h
la constante de Planck et c la célérité de la lumière. Sa valeur
numérique est de 5.670 10^-8 W.m^-2.K^-4.
La loi de Stefan peut se déduire de la loi de Planck, que je rappelle
ci-dessous. Elle nous est importante car elle permet de calculer la
puissance rayonnée par un corps noir en fonction de sa température et de
sa surface émissive.
La loi de rayonnement de Kirchhoff, qui date elle de 1859, exprime le fait qu'un corps n'est capable d'émettre que le rayonnement de longueur d'onde donnée qu'il absorbe. S'il s'agit d'un corps noir, il absorbe les rayonnements de toutes les longueurs d'onde et donc il peut émettre un rayonnement de n'importe quelle longueur d'onde.
La loi de Planck de 1900, que nous avons déjà rencontré à propos de la
catastrophe ultra-violette,
établit la luminance énergétique spectrale d'un corps noir en fonction
de la température T de ce corps noir. Elle s'exprime ainsi :
\begin{align} u(\lambda,T) = \dfrac{2 h c^2}{\lambda^5}
\dfrac{1}{\exp(\dfrac{hc}{\lambda k T}) - 1} \end{align}
où k est la constante de Boltzmann, h la constante de Planck et c la célérité de la lumière.
Pour l'essentiel, si l'on néglige l'apport de la géothermie
relativement insignifiant, l'énergie fournie à l'atmosphère terrestre
provient exclusivement du Soleil. Son évaluation est assez facile,
connaissant la température de Soleil et sa distance de la Terre. En
effet, si nous considérons en première approximation le Soleil comme un
corps noir, la loi de Stefan nous dit que l'énergie total Es rayonnée
par le Soleil correspond à celle d'un corps noir rayonnant à une
température Ts, qui est connu et égale à 5 778 K. D'après Stefan, en
approximant la surface du Soleil à celle d'une sphère, \( E_S = 4 \pi
R_S^2 \sigma T_S^4 \), avec \( R_S \) le rayon du Soleil = 6.96.10^8 m.
Le rayonnement solaire est isotrope, c'est à dire identique dans toutes
les directions. Sur une période de l'ordre de l'année, on peut
considérer qu'il est constant. La Terre se trouvant à d = 1.50.10^11 m
du Soleil, on peut calculer le flux d'énergie \( F_S \), exprimé en
W.m^-2, intercepté par la Terre, qui est égal à \( F_S = \dfrac{E_S}{4
\pi d^2} \), soit \( F_S = \dfrac{R_S^2 \sigma T_S^4}{d^2} \).
Le calcul numérique, que Python va effectuer pour nous, nous donne \( F_S \) = 1 360 W.m-2 environ. C'est ce qu'on appelle la constante solaire, qui intervient dans toute la littérature sur l'effet de serre, et que vous savez maintenant calculer...
Si nous considérons que le système thermique Terre est à l'équilibre thermique, cela signifie que le flux rayonné par la Terre, considérée comme un corps noir, est égal au flux reçu par le Soleil, soit \( F_S = F_T \).
La connaissance de \( F_S \) et donc de \( F_T \) va nous permettre de calculer la température moyenne théorique de surface de la Terre, moyennant quelques remarques :
Finalement donc l'énergie interceptée par la Terre sur son disque
éclairé par le Soleil devient donc \( F_0 = F_S \dfrac{\pi R_T^2(1 -
\alpha_T)}{4 \pi R_T^2} \) ou en simplifiant \( F_0 = F_S \dfrac{(1 -
\alpha_T)}{4} \). En appliquant la loi de Stefan, nous pouvons calculer
la température théorique de la Terre en posant \( F_S \dfrac{(1 -
\alpha_T)}{4} = \sigma T_T^4 \), soit \( T_T \) la température
d'émission du corps noir Terre égale à \( T_T = (\dfrac{F_S(1 -
\alpha_T)}{4 \sigma})^{\dfrac{1}{4}}\).
Si nous faisons faire le calcul par Python, nous obtenons T = 255 K
environ. Il s'agit de la température que l'on observerait si l'effet de
serre n'existait pas sur Terre. Pour info, 255 K, ça fait -18° C ! Sans
effet de serre, notre planète serait une boule de glace ! Vous le lisez
souvent dans les livres. Maintenant, vous savez l'estimer avec un calcul
de "coin de table" comme disent les physiciens (les numériciens aussi
savent faire des calculs de "coin de table" !).
La loi de Planck nous permet de connaitre la longueur d'onde moyenne du rayonnement du Soleil et de la Terre, considérés tous les deux comme des corps noirs.
Traçons les courbes représentatives de l'énergie rayonnée par le Soleil, dont la température de surface est de 5778 K, et par la Terre dont on va fixer la température moyenne de surface à 288 K (voir le site CNRS sur l'effet de serre) :
Pour le Soleil, la longueur d'onde pour laquelle le rayonnement est maximum est d'environ 500 nm, c'est à dire dans le vert du rayonnement visible. Le spectre visible est compris entre 390 nm et 710 nm. Vous pouvez constater que le Soleil émet une grande partie de son rayonnement dans le visible.
Pour la Terre, la longueur d'onde pour laquelle le rayonnement est maximum est d'environ 10 000 nm soit 10 microns. Nous sommes là dans le domaine de l'infrarouge moyen qui est compris entre 3 et 50 microns. La grande partie du rayonnement terrestre est dans l'infrarouge moyen.
En résumé, la Terre reçoit le rayonnement solaire dans le spectre
visible et le ré-émet dans l'infrarouge. Ce qui n'est pas sans
conséquence sur l'effet de serre !
Dans le calcul effectué ci-dessus, je n'ai pas pris en compte
l'existence de l'atmosphère. En l'absence de celle-ci, la température de
la surface de la Terre serait donc de 255 K. Nous allons maintenant
introduire l'existence de l'atmosphère et des gaz à effet de serre (GES)
qu'elle contient : vapeur d'eau, CO2, CH4 et autres.
Modélisons l'atmosphère comme une couche de gaz à la température \( T_A
\), qui présenterait une absorbance \( \alpha_A \). Supposons que cette
couche de gaz soit transparente au rayonnement solaire (dans le visible)
et fortement opaque au rayonnement infrarouge émis par la Terre (nous
verrons les arguments de cette hypothèse plus loin).
L'atmosphère est réchauffée par le flux thermique \( F_T \) en
provenant du sol terrestre qui vaut \( F_T = \sigma T_T^4 \). Elle
absorbe une partie de ce flux et il reste au sommet de l'atmosphère,
rayonné vers les étoiles un flux égal à \( F_R = (1 - \alpha_A) \sigma
T_T^4 \).
L'atmosphère elle-même se comporte comme un corps noir et rayonne dans
toutes les directions conformément à la loi de Planck en fonction de sa
température. En application de la loi de Kirchhoff, le flux rayonné sera
égal à \( F_A = \alpha_A \sigma T_A^4\).
Au sommet de l'atmosphère, le bilan s'établit ainsi : \( F_0 = F_R +
F_A \) soit \( F_S \dfrac{(1 - \alpha_T)}{4} = (1 - \alpha_A) \sigma
T_T^4 + \alpha_A \sigma T_A^4 \).
Pour l'atmosphère, le bilan énergétique se résume à \( \alpha_A \sigma
T_T^4 = 2 \alpha_A \sigma T_A^4 \), que l'on peut simplifier en
écrivant \( T_A = \dfrac{T_T}{2^{0.25}} \).
En remplaçant l'expression de \( T_A \) en fonction de \( T_T \) dans le bilan au sommet de l'atmosphère, j'obtiens l'expression de \( T_T \) :
\begin{align} T_T = \left(\dfrac{F_S (1 - \alpha_T) }{4 \sigma (1 -
\dfrac{\alpha_A}{2})}\right)^{0.25} \end{align}
Notons que si \( \alpha_A \) est nul, c'est à dire en absence
d'atmosphère, nous retrouvons l'expression de la température déjà
exprimée ci-dessus.
La présence de l'atmosphère, selon la valeur de \( \alpha_A \) augmente
la valeur de la température au sol de la Terre. L'absorbance \( \alpha_A
\) dépend de la concentration en GES.
Pour illustrer l'influence de \( \alpha_A \) sur la température au sol,
traçons la courbe \( T_S =f(\alpha_A) \), avec les constantes déjà
rencontrées :
Comme nous nous en doutions, à l'augmentation de l'absorbance, et donc
de la teneur en GES de l'atmosphère, correspond de façon quasi-linéaire
une augmentation de la température moyenne. Et réciproquement, une
diminution de la teneur en GES dans notre atmosphère provoquerait une
chute de la température moyenne, ce qui ne serait pas plus drôle !
Pour une absorbance nulle, la température est d'environ 255 K, résultat
que nous connaissons déjà. Pour une température moyenne constantée de
288 K, l'absorbance correspondante est d'environ 0,77.
Examinons le bilan énergétique que nous venons d'établir :
La différence, 150 W.m-2 environ, correspond à l'effet de serre. Notre atmosphère nous réchauffe !
Les responsables de l'effet de serre sont essentiellement la vapeur d'eau, responsable à 55% et les nuages (de l'eau liquide...), responsables à 17%, donc 72% de l'effet de serre imputable à H2O. Les 28 % restants sont le fait du CO2 pour l'essentiel, du méthane ou autres.
La concentration en CO2 dans l'atmosphère augmente : si certains en contestent encore les causes (!!) , le fait est lui incontestable car précisémment mesurable. En 1839, la concentration de CO2 était de 283 ppm (parties pour un million, soit 0.0283 %). En 2009, cette concentration est passée à 386 ppm. En 2016, elle était de 401 ppm (mesures faites par la NOAA au laboratoire de référence de Mauna Loa). En avril 2018, elle atteint 411 ppm (données de Mauna Loa) ! Et toujours pour certains, l'Homme n'y est pour rien, et la majorité s'inquiète du faible taux de croissance du PIB mondial...
Notre modèle simpliste montre simplement une relation entre
l'absorbance de l'atmosphère et la température au sol. L'absorbance de
l'atmosphère est liée à la concentration en GES, et donc à celle du CO2
entre autres. Mais la relation peut être compliquée...
Il reste que les données disponibles, que vous trouverez un peu partout,
les plus fiables étant celles du site du GIEC, montrent une corrélation
étroite entre la température terrestre moyenne et la concentration en
CO2 dans l'atmosphère. Vous pouvez par exemple consulter le site de l'ENS
de Lyon.
Il est clairement établi physiquement que l'augmentation de la
concentration en CO2 provoque un forçage radiatif. Par exemple, dans le
rapport du GIEC de 2011, on démontre que l'accroissement du CO2 dans
l'atmosphère de 278 ppm à 365 ppm a provoqué un forçage radiatif de 1,46
W.m-2. Quant à se lancer dans des prévisions lorsqu'on
dépassera les 400 ou les 450 ppm, je laisse cela aux spécialistes (j'ai
écris cela en 2017 : en 2018, nous en sommes à 411 ppm !).
Le modèle d'effet de serre proposé ici est extrêmement simplifié ! Plusieurs éléments fondamentaux à prendre en compte dans un modèle opérationnel sont omis, parmi lesquels :
Les modèles actuels des climatologues prennent en compte tous ces paramètres et bien d'autres encore. Les climatologues sont aujourd'hui, avec les physiciens des particules, les plus gros consommateurs de physique numérique et d'ordinateurs !
Pourquoi des gaz comme la vapeur d'eau, le méthane ou le CO2 sont-ils
des GES ? En précisant la question d'après ce que nous avons vu
ci-dessus, pourquoi sont-ils transparents au rayonnement visible (i.e. à
des ondes électromagnétiques dans le spectre visible) et sont-ils
opaques au rayonnement infrarouge?
Sujet intéressant, objet de problèmes de concours, qui va nous ramener à
une physique connue, celles des oscillateurs, de leur résonance et de
l'interaction avec des ondes électromagnétiques.
Dans la suite, je me limiterai au cas du CO2. Mais le raisonnement
serait globalement le même avec une molécule de H2O ou de méthane.
La molécule de CO2 est une molécule linéaire (c'est la configuration d'énergie minimale pour les trois atomes qui la forment) qui dans laquelle un atome de carbone est lié par des doubles liaisons à deux atomes d'oxygène.
Les deux doubles liaisons ont la même longueur, ce qui fait que la molécule ne possède pas de moment dipolaire. Mais par contre, les atomes peuvent vibrer, ce qui provoque des déséquilibres électriques transitoires. Chaque liaison C=O est faiblement polarisée, ce qui aura son importance lorsqu'on abordera le comportement de la molécule sous l'effet du champ électrique d'une onde électromagnétique.
Les différents modes de vibration de la molécule de CO2 sont figurés sur le schéma suivant :
Assimilons le système formé par l'atome de carbone et les deux atomes d'oxygène à un oscillateur harmonique, les trois atomes étant reliés par deux ressorts identiques (les liaisons C=O) de raideur k et de longueur au repos \( r_0 \). Notons \( m_C \) la masse de l'atome de carbone et \( m_O \) la masse de l'atome d'oxygène.
Etablissons l'équation différentielle de cet oscillateur dans le repère barycentrique de la molécule, considéré comme galiléen. En nommant \( x_1 \) et \( x_3 \), les coordonnées des atomes d'oxygène dans le référentiel, en appliquant le PFD (la second loi de Newton), nous obtenons le système différentiel :
\( \dfrac{d^2 x_1}{dt^2} + k\left( \dfrac{1}{m_O} + \dfrac{1}{m_C}\right)x_1 + \dfrac{k}{m_C}x_3 = 0 \)
\( \dfrac{d^2 x_3}{dt^2} + k\left( \dfrac{1}{m_O} + \dfrac{1}{m_C}\right)x_3 + \dfrac{k}{m_C}x_1 = 0 \)
Les pulsations propres du système sont :
\( \omega_1 = \sqrt{\dfrac{k}{m_O}} \)
\( \omega_2 = \sqrt{\dfrac{k}{m_O} + \dfrac{2k}{m_C}} \)
Calculons les longeurs d'onde propres de ces deux modes, avec les valeurs numériques suivantes :
Un petit script Python, EdS_CO2.py, fera ces petits calculs pour nous. Nous obtenons :
Longueur d'onde lambda1 (en micromètres) = 8.15
Longueur d'onde lambda2 (en micromètres) = 4.25
Ces deux longueurs d'onde appartiennent au domaine des infrarouges moyens, qui s'étend de 3 à 50 micromètres.
L'étude des vibrations de la molécule dans le plan est un peu plus compliquée et fait appel à des considérations énergétiques. Je n'aborderai pas le mode de vibration hors du plan.
Dans le mode de vibration dans le plan, on dit aussi mode de flexion de la molécule, les liaisons C=O forment entre elles un angle variable \( \alpha \). L'énergie potentielle résultante de cette flexion est proportionnelle à cet angle, la constante de proportionnalité est notée C et est déterminée expérimentalement.
En faisant plusieurs approximations classiques, en particulier une faible amplitude des mouvements qui permet un développement limité d'ordre 1, on peut calculer l'énergie cinétique de ce mouvement en fonction de la variation de l'angle \( \alpha \) et des caractéristiques de la molécule. Puis, à l'aide de cette expression de l'énergie cinétique, en appliquant la loi de conservation de l'énergie mécanique, trouver l'expression de la pulsation propre de l'oscillateur, que j'appelle \( \omega_F \) et qui s'exprime par :
\( \omega_F = \sqrt{ \dfrac{2C}{r_0^2}(\dfrac{1}{m_O} + \dfrac{2}{m_C})} \).
Notre script EdS_CO2.py nous fournit sa valeur numérique :
Longueur d'onde lambdaF (en micromètres) = 21.44
La longueur d'onde propre de cet oscillateur appartient aussi au domaine des infrarouges moyens.
Pour information, les calculs que je n'ai pas développé ici ont fait
l'objet d'un problème de physique au concours MP de Centrale-Supelec en
2003...
Nous avons vu plus haut que la molécule de CO2 était électriquement polarisée, c'est à dire qu'il y avait un déséquilibre faible entre la répartition des charges électriques entre les atomes d'oxygène et l'atome de carbone de la molécule.
Soumettons cette molécule polarisée à une onde électromagnétique (OEM) dans la direction de l'axe de polarisation. Comme vous le savez, une OEM est composée d'un champ électrique et d'un champ magnétique qui "ondulent" à une fréquence donnée, la fréquence de l'OEM. Considérons que nous puissions faire l'approximation non relativiste et donc que nous puissions négliger l'action de la composante magnétique de l'OEM.
Notre molécule, que nous modélisons par un oscillateur, est donc soumise à une excitation du au champ électrique, excitation qui sera égale à \( A E_0 \cos(\Omega t) \), A étant proportionnelle au déséquilibre de charges dans la molécule, \( E_0 \) étant le champ électrique de l'onde et \( \Omega \) la pulsation de l'OEM.
Dans le paragraphe précédent, notre oscillateur était libre, le terme de droite des équations différentielles était nul. Maintenant, notre oscillateur est forcé par le champ électrique de l'onde. Nous obtenons donc le système différentiel :
\( \dfrac{d^2 x_1}{dt^2} + k\left( \dfrac{1}{m_O} + \dfrac{1}{m_C}\right)x_1 + \dfrac{k}{m_C}x_3 = \dfrac{\delta e}{m_O} E_0 \cos(\Omega t) \)
\( \dfrac{d^2 x_3}{dt^2} + k\left( \dfrac{1}{m_O} + \dfrac{1}{m_C}\right)x_3 + \dfrac{k}{m_C}x_1 = \dfrac{\delta e}{m_O} E_0 \cos(\Omega t) \)
La constante \( \delta e \) mesure le déséquilibre de charge entre les atomes d'oxygène et de carbone dans la molécule de CO2.
En faisant un peu de calcul, passage à la forme complexe et somme/différence des deux équations du système, on peut obtenir les amplitudes du système qui sont égales pour \( \Omega \) différent de \( \omega_1 \) et \( \omega_2 \) :
\( A = \dfrac{\delta e E_0}{m_O(\Omega^2 - \omega_2^2)}\)
Nous observons que si \( \Omega \) tend vers \( \omega_2 \), l'amplitude A tend vers l'infini. C'est le phénomène de résonance que l'on rencontre dans les oscillateurs. Cependant, nous avons un petit problème : dans la réalité, en cas de résonance, l'amplitude ne devient pas infinie ! C'est que nous n'avons pas encore pris en compte le fait qu'un oscillateur qui reçoit de l'énergie la restitue toujours, sous forme mécanique ou électromagnétique.
Vous avez appris dans votre cours d'électromagnétisme qu'un dipôle électrique qui oscille émet un rayonnement électromagnétique. C'est le principe des antennes d'émetteurs, entres autres. La puissance du rayonnement émis dépend de la pulsation du rayonnement incident, l'OEM qui "éclaire" la molécule de CO2, ici donc \( \Omega \) et l'amplitude de cette OEM. A la résonance, son amplitude sera maxima et la puissance rayonnée aussi.
Ainsi, lorsque un ensemble de molécules de CO2 est "éclairé" par une OEM incidente, les molécules de CO2 absorbent une partie de l'énergie de l'onde et ré-emettent cette énergie sous forme de rayonnement. La quantité d'énergie absorbée dépend d'une constante que l'on appelle la section efficace d'interaction de la molécule de CO2 avec l'OEM incidente. Cette section efficace est inversemment proportionnelle à la différence \( ( \omega_2^2 - \Omega^2)^2 \). Lorsque \( \Omega \) tend vers \( \omega_2 \), alors l'absorption devient très grande.
Les scripts Python étudiés dans cette page sont disponibles dans le package EdS.zip :