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Vecteur, repère et coordonnées

Définition d'un vecteur

La définition rigoureuse d'un vecteur, élément d'un espace vectoriel, est en fait assez compliquée. Pour nos besoins (la physique du lycée et des classes prépas), on va en rester à la définition élémentaire.

On définit le vecteur \( \overrightarrow{AB} \), comme un objet possédant:

  • une direction: le bipoint (A,B) s'appuie sur une droite support,
  • un sens: le bipoint est orienté. A est son origine et B son extrémité,
  • un point d'application, qui sera A. C'est ici que notre définition est élémentaire. Ceux que ça intéresse creuseront et tomberont sur les classes d'équivalence, les vecteurs liés, les glisseurs, etc.
  • une norme, qui est définie comme la distance euclidienne entre A et B. On la note \( ||\overrightarrow{AB}|| \) ou plus simplement \( AB = ||\overrightarrow{AB}|| \). En physique, on parle aussi d'intensité ou de module. Attention, il existe une différence formelle entre la notion de norme de vecteur en mathématique et d'intensité (ou module) en physique : une norme au sens mathématique ne possède pas d'unité, alors que l'intensité en physique en possède une (une force s'exprime en newton par exemple). Dans la vie courante, peu de gens font la distinction....

La norme d'un vecteur est un réel toujours positif ou nul. Un vecteur dont la norme est égale à 1 est dit "unitaire".

Notion de repère

On se limitera ici aux repères cartésiens.

Pour repérer un point dans le plan ou l'espace, et donc pour faire un calcul de distance ou plus généralement du calcul vectoriel, il est indispensable de fixer un repère.

En physique, on utilisera principalement les repères de type "orthonormé".
Un repère orthogonal est un système de 3 droites orthogonales non coplanaires, dont le point d'intersection O forme l'origine du repère. Chacune de ces droites forment les axes du répère. On les nomme par convention, dans l'espace, Ox, Oy et Oz (Ox et Oy dans le plan).
On définit sur chacune de ces droites un vecteur unitaire, respectivement \( \overrightarrow{e_x} \) sur Ox, \( \overrightarrow{e_y} \) sur Oy et \( \overrightarrow{e_z} \) sur Oz. Ces trois vecteurs forment la base du repère. N'importe quel vecteur \( \overrightarrow{k} \) peut être exprimé dans ce repère comme une combinaison linéaire des trois vecteurs de base, c'est à dire que je peux écrire \( \overrightarrow{k} = a\overrightarrow{e_x} + b\overrightarrow{e_y} + c\overrightarrow{e_z}\). Nous allons voir ce qui représente a, b et c.
Un repère orthogonal muni d'une base de longueur commune unique est un repère orthonormé.
Un autre aspect important pour un repère est son orientation. Par convention, le repère que j'ai dessiné est un repère direct. Le sens de rotation positif est dans le sens de Ox vers Oy.

Coordonnées d'un point

Considérons sur le schéma ci-dessus le point M. Projetons perpendiculairement ce point sur le plan formé par les axes Ox et Oy. Si maintenant nous projetons perpendiculairement ce point sur chacun des axes Ox et Oy, nous obtenons deux points Mx et My.
Projetons le point M sur l'axe Oz : nous obtenons le point Mz.
Considérons maintenant les trois vecteurs \( \overrightarrow{OM_x} \), \( \overrightarrow{OM_y} \) et \( \overrightarrow{OM_z} \) obtenus. Par construction, le vecteur \( \overrightarrow{OM_x} \) est colinéaire au vecteur \( \overrightarrow{e_x} \) (voir plus bas la définition de la colinéarité). Je peux donc écrire l'égalité \( \overrightarrow{OM_x} = x\overrightarrow{e_x} \) . De la même façon, je peux écrire \( \overrightarrow{OM_y} = y\overrightarrow{e_y} \) et \( \overrightarrow{OM_z} = z\overrightarrow{e_z} \) , où x, y et z sont trois réels. Ces trois réels sont les coordonnées cartésiennes de point M dans le repère \( (O, \overrightarrow{e_x}, \overrightarrow{e_y}, \overrightarrow{e_z}) \). Attention : dans un autre repère, les coordonnées de M ne seront pas identiques!
Remarquons aussi que, comme indiqué ci-dessus, je peux écrire \( \overrightarrow{OM} = x\overrightarrow{e_x} + y\overrightarrow{e_y} + z\overrightarrow{e_z} \). Les coordonnées cartésiennes me permettent d'exprimer un vecteur quelconque comme la combinaison linéaire des vecteurs de base du repère. On dit alors dans ce cas que x,y et z forment les composantes du vecteur \( \overrightarrow{OM} \). C'est vrai dans ce cas, car O est l'origine du repère. On verra plus loin comment calculer les composantes d'un vecteur quelconque.
On peut aussi facilement calculer la norme OM du vecteur \( \overrightarrow{OM} \). En appliquant le théorème de Pythagore, j'obtiens ||OM||² = x² + y² + z² et donc ||OM|| = sqrt(x² + y² +z²).

Addition de deux vecteurs

Soit deux vecteurs \( \overrightarrow{u} \) et \( \overrightarrow{v} \) définis dans un repère orthonormé dans R2 (dans le plan donc !).

La somme des deux vecteurs se construit par la règle du parallélogramme. On obtient le vecteur \( \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\).
Notons quelques propriétés importantes de la somme vectorielle:

  • elle est associative \((\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) + \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} + (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w})\)
  • elle est commutative \(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}\)
  • il existe un élément neutre pour l'addition \(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{u}\) (si j'appelle \( \overrightarrow{0} \) le vecteur nul)
  • il existe un élément symétrique pour l'addition \(\overrightarrow{u} + (-\overrightarrow{u}) = \overrightarrow{0}\)

Signalons ici une relation très importante, la relation de Chasles qui dit que, si \( \overrightarrow{AB} \) est un vecteur quelconque dans un repère d'origine O, alors:
\( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} \).

Composantes d'un vecteur - Norme

Soit \(\overrightarrow{u}\) un vecteur quelconque. On appelle composantes du vecteur \(\overrightarrow{u}\) le triplet (je considère que je suis dans R3) de réels (x, y, z) tel que \(\overrightarrow{u} = x\overrightarrow{e_x} + y\overrightarrow{e_y} + z\overrightarrow{e_z} \).

Voyons ce que cela donne pour un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) dans le plan euclidien muni d'un repère \( (O, \overrightarrow{e_x}, \overrightarrow{e_y}, \overrightarrow{e_z}) \). Comment calculer ses composantes, problème bien classique en physique ? Il suffit de remarquer que :

\( \overrightarrow{OA} = x_a\overrightarrow{e_x} + y_a\overrightarrow{e_y} + z_a\overrightarrow{e_z}\)

\( \overrightarrow{OB} = x_b\overrightarrow{e_x} + y_b\overrightarrow{e_y} + z_b\overrightarrow{e_z}\)

et donc :
\( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OA} = (x_b - x_a)\overrightarrow{e_x} + (y_b - y_a)\overrightarrow{e_y} + (z_b - z_a)\overrightarrow{e_z}\)

La norme du vecteur \(\overrightarrow{u}\) (son carré en l'occurrence) est donnée par la formule, à connaitre par coeur :
\( ||\overrightarrow{AB}||^2 = (x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2 + (z_b - z_a)^2 \)

Multiplication par un scalaire

Soit un vecteur \( \overrightarrow{u} \) et un réel k. Le produit du réel k et du vecteur \( \overrightarrow{u} \) donne un vecteur \( k\overrightarrow{u} \) qui possède les propriétés suivantes:

  • il possède la même direction que \( \overrightarrow{u} \).
  • son sens dépend du signe de k : si k > 0 alors \( \overrightarrow{u} \) et \( k\overrightarrow{u} \) ont le même sens. Si k < 0, ils sont de sens opposé.
  • ||\( k\overrightarrow{u} \)|| = k||\( \overrightarrow{u} \)||
  • la multiplication d'un vecteur par un scalaire est associative, distributive et admet un élément neutre (k=1)

Produit scalaire et produit vectoriel

Produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs \( \overrightarrow{u} \) et \( \overrightarrow{v} \) est un nombre réel (on dit aussi scalaire) défini comme le produit de leur norme et du cosinus de l'angle que forme les deux vecteurs:

\( \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = ||\overrightarrow{u}||||\overrightarrow{v}||\cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}) \)

Notez la manière d'écrire le produit scalaire avec un point.

Le produit scalaire peut donc être positif ou négatif selon la valeur de l'angle. Très important, il est nul lorsque \( \overrightarrow{u} \) et \( \overrightarrow{v} \) sont orthogonaux, propriété à connaitre par coeur.

Quelques propriétés du produit scalaire:

  • il est commutatif : \(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}\)
  • il est bilinéaire : \( (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}).\overrightarrow{w} = \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}\) et \( (m\overrightarrow{u}).(n\overrightarrow{v}) = (mn)(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}) \)

Soient (x1,y1,z1) les composantes du vecteur \( \overrightarrow{u} \) et (x2,y2,z2) les composantes du vecteur \( \overrightarrow{v} \) dans un repère orthonormé, le produit scalaire est défini par

\(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = x1x2 + y1y2 + z1z2 \)

Trois remarques importantes:

  • D'après cette définition et la définition de la norme d'un vecteur donnée ci-dessus, on a donc \( ||\overrightarrow{u}||^2 = \overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}\)
  • Si \( \overrightarrow{A} \) est un vecteur quelconque sur une droite, le vecteur \( \overrightarrow{i} = \dfrac{\overrightarrow{A}}{||\overrightarrow{A}||}\) est le vecteur unitaire fixant la direction de \( \overrightarrow{A} \).
  • Le produit scalaire et la norme sont des invariants par translation et par rotation du repère et ils ne dépendent pas non plus de son orientation.

Enfin, savez-vous que le produit scalaire permet de retrouver le théorème d'Al-Kashi en deux lignes de calcul....

Produit vectoriel

Le produit vectoriel de deux vecteurs \( \overrightarrow{u} \) et \( \overrightarrow{v} \) est un vecteur (plus exactement un pseudo-vecteur, nous verrons cela plus loin) défini comme le produit de leur norme et du sinus de l'angle que forment les deux vecteurs: \( \overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v} = ||\overrightarrow{u}||||\overrightarrow{v}||\sin(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})\)

Le vecteur \( \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v} \) est perpendiculaire au plan formé par les vecteurs \( \overrightarrow{u} \) et \( \overrightarrow{v} \), orienté de telle sorte que le trièdre \( (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}) \) soit direct.

Quelques propriétés du produit vectoriel:

  • il est nul si les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires, ce qui est un excellent moyen de démontrer que deux vecteurs sont colinéaires.
  • il est anticommutatif : \( \overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow {v} = - \overrightarrow{v} \wedge \overrightarrow(u) \)
  • il est bilinéaire : \( (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \wedge \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow {w} + \overrightarrow{v} \wedge \overrightarrow {w} \) et \(m.\overrightarrow{u} \wedge n\overrightarrow{v} = mn (\overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow {v}) \)
  • la norme \(||\overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v}||\) est égale à l'aire du parallélogramme formé par les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\).

Soient (x1,y1,z1) les composantes du vecteur \( \overrightarrow{u} \) et (x2,y2,z2) les composantes du vecteur \( \overrightarrow{v} \) dans un repère orthonormé \( (O, \overrightarrow{e_x}, \overrightarrow{e_y}, \overrightarrow{e_z}) \), le produit vectoriel est défini par: \(\overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v} = (y1z2 - z1y2)\overrightarrow{e_x} + (z1x2 - x1z2)\overrightarrow{e_y} + (x1y2 - y1x2)\overrightarrow{e_z} \).

Pour calculer les composantes, il est préférable d'utiliser la méthode du déterminant. Ou bien les apprendre par coeur, ou encore regarder sa calculette...

Deux remarques importantes:

  • Par application de la définition du produit vectoriel aux vecteurs de la base de notre repère, on obtient les égalités \( \overrightarrow{e_x} = \overrightarrow{e_y} \wedge \overrightarrow{e_z} \), \( \overrightarrow{e_y} = \overrightarrow{e_z} \wedge \overrightarrow{e_x} \) et \( \overrightarrow{e_z} = \overrightarrow{e_x} \wedge \overrightarrow{e_y} \).
  • Contrairement au produit scalaire, le produit vectoriel est sensible aux translations et aux rotations. Il se comporte dans ces cas comme un vecteur. Par contre, dans le cas d'une symétrie plane (changement d'une base directe à une base indirecte), le produit vectoriel change de sens. C'est pourquoi il est qualifié de "pseudo-vecteur". Il convient de se méfier de cette propriété lors de l'analyse des problèmes liés à la symétrie cas comme un vecteur.

Enfin signalons l'existence du double produit vectoriel \( \overrightarrow{u} \wedge (\overrightarrow{v} \wedge \overrightarrow{w}) = (\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w})\overrightarrow{v} - (\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v})\overrightarrow{w} \)

Dérivée d'un vecteur

En physique, particulièrement en mécanique, les coordonnées d'un point sont définies par une fonction, généralement dépendante du temps. Imaginons par exemple un point M dont les coordonnées sont (x(t), y(t), z(t)).
Dans un repère d'origine O, je peux définir le vecteur \(\overrightarrow{OM}\) de composantes (x(t), y(t), z(t)).
Je peux également définir (sous les conditions habituelles) la dérivée \(\dfrac{d(\overrightarrow{OM})}{dt}\) de cette fonction vectorielle. Les composantes de \(\dfrac{d(\overrightarrow{OM})}{dt}\) sont (dx(t)/dt, dy(t)/dt, dz(t)/dt). Si les conditions de dérivabilité sont remplies, je peux définir ainsi toutes les dérivées d'ordre n de cette fonction vectorielle.
Quelques règles sur la dérivation des fonctions vectorielles:

  • \(\dfrac{d(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})}{dt} = \dfrac{d(\overrightarrow{u})}{dt} + \dfrac{d(\overrightarrow{v})}{dt}\)
  • \( \dfrac{d(k\overrightarrow{u})}{dt} = k\dfrac{d(\overrightarrow{u})}{dt} \)    avec k constant
  • \( \dfrac{d(f(t)\overrightarrow{u})}{dt} = \dfrac{d(f(t))}{dt}\dfrac{d(\overrightarrow{u})}{dt} \)
  • \(\dfrac{d(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v})}{dt} = \overrightarrow{v}.\dfrac{d(\overrightarrow{u})}{dt} + \overrightarrow{u}.\dfrac{d(\overrightarrow{v})}{dt}\)
  • \(\dfrac{d(\overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v})}{dt} = \dfrac{d(\overrightarrow{u})}{dt} \wedge \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} \wedge \dfrac{d(\overrightarrow{v})}{dt} \)

Une remarque importante en mécanique : si \(\overrightarrow{u}\) est un vecteur de norme constante non nulle, les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\dfrac{d(\overrightarrow{u})}{dt}\) sont orthogonaux.

Projection d'un vecteur sur un axe

Voyons maintenant un point qui semble poser problème à beaucoup de lycéens : comment projeter un vecteur quelconque sur un axe et par extension sur les axes d'un repère orthonormé.

Voyons d'abord le principe de la projection orthogonale d'un vecteur sur une droite quelconque. Vous savez tous qu'on appelle projection orthogonale d'un point M sur une droite D, le point H, qui est l'intersection de la droite perpendiculaire à D passant par M.
Par définition, un vecteur, le vecteur \( \overrightarrow{AB} \) par exemple, est un bipoint. Effectuons la projection orthogonale des points A et B sur une droite D quelconque. Nous obtenons les points A' et B', qui forment le vecteur \( \overrightarrow{A'B'} \).

Maintenant, voyons le cas le plus classique: je veux projeter le vecteur \( \overrightarrow{AB} \) sur un axe muni d'un vecteur unitaire \( \overrightarrow{i} \), et je cherche la valeur de la distance AB', qui est la norme du vecteur \( \overrightarrow{AB'} \).
Par définition, la distance AB' est égale au produit scalaire du vecteur \( \overrightarrow{AB} \) par le vecteur \(\overrightarrow{i} \), soit \( AB' = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{i} = ||\overrightarrow{AB}||||\overrightarrow{i}||\cos(\alpha)\). Or comme vous le savez, la norme de \( \overrightarrow{i} \) est égale à 1 (puisque c'est un vecteur unitaire), ce qui nous donne donc \( AB' = ||\overrightarrow{AB}||\cos(\alpha)\).

Voici le cas typique d'un problème de projection qui plonge certains dans un abîme de perplexité ! Nous avons un vecteur \( \overrightarrow{v} \), et nous cherchons les normes de \( \overrightarrow{Ox} \) et \( \overrightarrow{Oy} \). Appelons l'angle \( (\overrightarrow{v}, \overrightarrow{Ox}) = \alpha \) et l'angle (\(\overrightarrow{v}, \overrightarrow{Oy}) = \beta \).
D'après la définition ci-dessus, nous avons \( ||\overrightarrow{Ox}|| = ||\overrightarrow{v}||\cos(\alpha) \) et \( ||\overrightarrow{Oy}|| = ||\overrightarrow{v}||\cos(\beta) \). Si l'on remarque, en regardant le cercle trigo, que cos(\(\beta\)) = sin(\(\alpha\)), alors on obtient les formules de projection bien connues et à savoir absolument :
\( ||\overrightarrow{Ox}|| = ||\overrightarrow{v}||\cos(\alpha) \)
\( ||\overrightarrow{Oy}|| = ||\overrightarrow{v}||\sin(\alpha) \).

Vecteurs et pseudo-vecteurs

Définitions

Un vrai vecteur, parfois nommé "vecteur polaire", est un vecteur dont la direction, le module et le sens sont déterminés sans référence à une convention d'orientation de l'espace. En physique, la vitesse et l'accélération d'un objet, le champ électrostatique sont des vrais vecteurs. En général, on ne précise pas "vrai" vecteur, mais seulement vecteur. Chaque fois que j'emploirai le mot "vecteur", il s'agira d'un "vrai" vecteur.

Un pseudo-vecteur, parfois nommé "vecteur axial", est un vecteur dont le sens est défini à partir d’une convention d’orientation d’espace. Tous les vecteurs résultants d'un produit vectoriel sont des pseudo-vecteurs, et ils sont nombreux en physique : champ électromagnétique, les rotationnels, etc.

La convention d'orientation de l'espace fixe le sens de rotation d'un axe dans un plan perpendiculaire à cet axe : tourne-t-il vers la gauche d'un observateur colinéaire à l'axe ou bien vers sa droite ? Cela vous rappelle sans doute la règle du tire-bouchon ou le bonhomme d'Ampère, deux moyens simples de fixer une convention d'orientation de l'espace.

Quelques règles de composition entre vrais vecteurs et pseudo-vecteurs : 

  • Le produit vectoriel entre deux vecteurs est un pseudo-vecteur,
  • Le produit vectoriel entre deux pseudo-vecteurs est un vecteur,
  • Le produit vectoriel entre un vecteur et un pseudo-vecteur est un pseudo-vecteur.

Influences sur les transformations géométriques

Une rotation ou une translation n'ont pas d'influence sur la nature d'un vecteur : si c'est un vecteur, il restera vecteur et si c'est un pseudo-vecteur, il restera pseudo-vecteur.

Ce n'est pas vrai quand il s'agit de symétrie par rapport à un point ou un plan. S'il s'agit :

  • d'un vecteur, on obtient son symétrique par symétrie par rapport à un point ou à un plan,
  • d'un pseudo-vecteur, on obtient son anti-symétrique par symétrie par rapport à un point ou à un plan.

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