La radioactivité alpha

La structure du noyau

Le noyau d'un atome est une structure complexe formée par plusieurs types d'éléments emboités, les nucléons : protons et neutrons, eux-même formés par l'assemblage de plusieurs types de quarks, qui sont à ce jour considérés comme les particules élémentaires.

Dans cette page, nous en resterons à l'étage protons + neutrons. Dans un noyau, nous trouvons donc des protons, chargés positivement, et des neutrons, neutres électriquement comme leur nom l'indique. Les protons sont soumis à l'interaction électromagnétique, qui les fait se repousser les uns les autres. Mais ils sont aussi soumis à l'interaction forte, qui se traduit par une force attractive entre nucléons, et qui assure la stabilité du noyau. Une grande différence entre ces deux interactions : l'une est de portée infinie (en 1/r2), l'autre a une portée de l'ordre du diamètre du noyau, soit le femtomètre (fm 10-15 m). A ce propos, en physique nucléaire, on utilise plus généralement le fermi (en l'honneur d'Enrico Fermi) au lieu du femtomètre : ils valent tous les deux 10-15 mètre.

On peut donc deviner facilement que la stabilité du noyau tient à la prédominance de l'une de deux forces sur l'autre, et que cette prédominance dépend de la distance à laquelle on se place.

Vous savez aussi qu'un noyau d'un même élement chimique peut contenir un nombre de neutrons différent pour un même nombre de protons : ce sont les isotopes d'un élément. Dans la suite, nous considérerons les isotopes du polonium. Cet élément comprend 84 protons (et donc aussi 84 électrons) mais le nombre de neutrons dans le noyau peut être de 126, 128, 130 ou 134 (il en existe d'autres !). Pour identifier chacun de ces isotopes, on utilise une écriture particulière : on indique en indice le numéro atomique Z, 84 pour le polonium, et en exposant le nombre de masse A (le nombre de nucléons), par exemple 210, ce qui donne \( _{84}^{210}Po \).

Il existe une relation empirique qui relie le rayon R (en fermi) d'un noyau et son nombre de masse A : \( R = 1.07A^{1/3}  \). Cette formule implique une vision à symétrie sphérique du noyau, le modèle de description du noyau que l'on appelle "la goutte liquide". C'est une image mentale et rien qu'une image mentale, approximative. N'imaginez surtout pas le noyau réel d'un atome comme une goutte d'eau. Cependant, ce genre d'image est pratique pour faire des calculs approximatifs.

L'instabilité d'un noyau se traduit par un phénomène bien connu : la radioactivité. Un noyau instable se décompose pour trouver une configuration stable, au plus bas niveau d'énergie possible. Mais alors est-ce par hasard que les noyaux radioactifs naturellement sont les gros noyaux ? Non, c'est parce qu'ils sont gros ! Vous trouverez sur cette page de Wikipedia l'illustration de cette remarque assez triviale à travers un objet de physique nucléaire que l'on appelle poétiquement la "vallée de stabilité". On constate expérimentalement (et on explique) qu'il n'y a pas de noyau stable ayant plus de 83 protons ou dont le nombre de neutrons dépasse 126.

La radioactivité alpha

Sa nature

Il existe plusieurs types de radioactivité : la radioactivité \( \alpha \), \( \beta + \) et \( \beta - \), \( \gamma \) et la capture d'électron. Cette page traite de la radioactivité \( \alpha \), dans laquelle un noyau libère plus ou moins souvent une particule \( \alpha \), en se transmutant selon l'équation nucléaire :

\( _{Z}^{A}X \: \longrightarrow \:  _{Z-2}^{A-4}Y \: + \: _{2}^{4}He \)

La particule \( \alpha \) étant donc un noyau d'hélium, pour respecter les lois de conservation.

La particule \( \alpha \), à son émission, possède une certaine énergie cinétique mesurable \( E_{\alpha} \), et donc une certaine vitesse \( v_{\alpha} \). Si nous faisons l'hypothèse que cette particule n'est pas relativiste, hypothèse confirmée par l'expérience, alors nous pouvons calculer cette vitesse classiquement, ce qui nous donne :

\( v_{\alpha} = \sqrt{\dfrac{2E_{\alpha}}{m_{\alpha}}}\)

L'émission d'une particule \( \alpha \) par un noyau radioactif \( \alpha \), comme le polonium par exemple, répond à une loi aléatoire dite loi de décroissance radioactive, que nous avons étudié dans cette page. Cette loi fait apparaître deux paramètres :

Ces deux paramètres sont apparus comme des résultats expérimentaux, nous verrons comment les calculer !

Les données expérimentales

Depuis la découverte de sa nature (le rayonnement \( \alpha \) est constitué de noyaux d'hélium) par Rutherford en 1903 et surtout la mise au point du compteur de radiations Geiger-Müller à la fin des années 20, les expérimentateurs ont accumulé beaucoup de résultats concernant la radioactivité \( \alpha \).

Ce que nous allons en retenir pour la suite :

Ces constats expérimentaux posent problème :

La théorie de Gamow

Le piège de la barrière coulombienne

Imaginons que la particule \( \alpha \) existe et se déplace à l'intérieur du noyau. Ce n'est pas complétement irréaliste : si vous calculez la longueur d'onde de de Broglie associée à une particule \( \alpha \), vous obtiendrez environ 7.10-15 m, c'est à dire l'ordre de grandeur du rayon d'un noyau.

Elle subit l'interaction forte dont la portée est de l'ordre de grandeur du rayon du noyau. Elle est aussi soumise à l'interaction électromagnétique. Attention, il s'agit d'une simplification pour la modélisation, la réalité est bien plus compliquée ! Mais cette approximation permit à Gamow de construire un modèle assez satisfaisant.

L'interaction forte forme un puit de potentiel et tend à garder la particule \( \alpha \) confinée dans le noyau. L'interaction électromagnétique tend elle à l'expulser. Mais il se trouve qu'à cette échelle, l'interaction forte est très largement prédominante. Une remarque toutefois, qui fixe une des limites du modèle de Gamow : la dynamique de la particule \( \alpha \) est déterminée par l'équation de Schrödinger, qui fixe la probabilité de détection de cette particule. Il est exagéré d'écrire que la particule est "confinée" dans le noyau fils. Il serait plus juste d'écrire qu'elle est en majorité confinée dans le noyau, sa probabilité de détection en dehors du noyau n'étant pas nulle.

Gamow considère que le potentiel à l'intérieur du noyau est homogène et constant. C'est une approximation simplificatrice.

Dans et autour du noyau nous avons donc très schématiquement les zones d'interaction suivantes autour du noyau :

Barrière de potentiel

Dans la zone gauche de la figure, lorsque r < r0, l'interaction forte est dominante, le potentiel nucléaire est considéré comme constant \( U(x) = -U_0 \)

Dans la partie droite de la figure, lorsque r > r0, l'interaction électromagnétique domine, le potentiel varie et dépend de la distance \( U(x) = \dfrac{Z_{\alpha} Z e^2}{4\pi\epsilon_0 r }\) , avec \( Z_{\alpha} \) le numéro atomique de l'hélium et Z le numéro atomique du noyau fils.

La transition à r = r0 constitue ce que l'on appelle la barrière coulombienne. Notons que dans ce modèle, nous observons une discontinuité dans l'expression du potentiel en r0. C'est assez ennuyeux, car comme vous le savez, la force qui s'exerce sur la particule dérive de ce potentiel, et il se trouve que dans ce modèle, la dérivée de U(x) en r0 est infinie. Sa valeur à gauche et à droite est différente... Mais bon, on va raccorder les deux courbes avec les mains, les mathématiciens nous pardonneront !

Il s'agit d'un modèle très simplificateur. Dans la réalité, les deux interactions se recouvrent autour de r0, et la forme de la barrière de potentiel est beaucoup moins abrupte.

La valeur r0 représente la somme du rayon du noyau fils et du rayon du noyau d'hélium. Sachant que le rayon d'un noyau se calcule empiriquement par la formule \( r = 1.07A^{1/3} \), nous obtenons \( r_0 = 1.07((A - 4)^{1/3} + 4^{1/3}) \) avec A le nombre de masse du noyau père.

La valeur de U0 est calculable et dépend de la composition du noyau. Par exemple, pour le polonium (Z=84), la valeur de U0 est d'environ -40 MeV.

Dans la cage presque hermétique que forme le noyau pour la particule \( \alpha \), Gamow imagine que la particule se déplace constamment à vitesse non relativiste \( v_{\alpha} \). Elle percute donc la barrière coulombienne en moyenne \( \dfrac{v_{\alpha}}{2R_0} \) fois par seconde. Si l'on utilise la définition classique de l'énergie cinétique de la particule reliant son énergie \( E_{\alpha}\) et sa vitesse \( v_{\alpha} \), on en déduit que \( v_{\alpha} = \sqrt{\dfrac{2E_{\alpha}}{m_{\alpha}}}\) et donc la fréquence de collision avec la barrière \( f = \dfrac{1}{2R_0}\sqrt{\dfrac{2E_{\alpha}}{m_{\alpha}}} \). Un rapide calcul nous donne le résultat extraordinaire d'environ 1021 collisions par seconde !

L'énergie cinétique de la particule \( \alpha \)

L'énergie cinétique de la particule \( \alpha \) est une grandeur directement accessible à l'expérience. C'est également une grandeur assez facile à calculer en appliquant les lois de conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement ou bien plus facilement, en ayant recours à la formule célébre \( \Delta E = \Delta m c^2 \).

Lorsqu'un noyau se désintègre, on observe une variation d'énergie, que l'on appelle défaut de masse, en application de la relation entre la masse et l'énergie que je viens de rappeler (est-ce vraiment utile ?). Prenons par exemple notre réaction nucléaire :

\( _{84}^{210}Po \: \longrightarrow \:  _{82}^{206}Pb \: + \: _{2}^{4}He \)

et calculons le défaut de masse, qui est égal à :

\( \Delta m = m_{Po} - (m_{Pb} + m_{He}) \)

Les masses sont exprimées en ua (unité de masse atomique). Comme c'est l'habitude en physique nucléaire, exprimons ce défaut de masse dans une unité bizarre mais très pratique, le MeV/c2, j'obtiens après conversion:

\( \Delta m =   931,5 \Delta m  \) MeV/c2

et je calcule l'énergie par notre célèbre formule \( \Delta E = \Delta m c^2 \), ce qui me donne :

\( \Delta E = \Delta m = m_{Po} - (m_{Pb} + m_{He}) \) en MeV.

Les données expérimentales nous indiquent que l'énergie cinétique de la particule \( \alpha \) dépend de l'isotope en cause. Par exemple, pour le \( _{84}^{210}Po \), les tables de données nous fournissent la valeur de 5.31 MeV. On trouve souvent 5.4 MeV dans la littérature : c'est la valeur approximative que j'utiliserai plus loin.

Le script Python fera ce calcul pour nous :

MPo = 209.9824
MPb = 205.9745
MHe = 4.00260
E1 = (MPo - MPb - MHe)*931.5
print 'Energie calculée particule alpha : ',"{0:.2f}".format(E1), ' MeV'

Le résultat obtenu est inférieur aux données expérimentales:

Energie calculée particule alpha :  4.94  MeV

Il y a une légère différence... C'est que j'ai simplifié, en négligeant certains phénomènes ! Mais c'est sans importance ici.

Il existe une loi empirique, due à Geiger et Nuttall en 1911, qui relie le log de \( \lambda \), la constante de désintégration et l'énergie cinétique de la particule \( \alpha \). Nous verrons cela plus loin.

Traverser la barrière coulombienne

Traçons maintenant sur le schéma de la barrière coulombienne le niveau d'énergie de notre particule, soit dans le cas du polonium 210 environ 5,4 MeV. La hauteur de la barrière atteint pratiquement 30 MeV (vous pourrez calculer sa valeur exacte). Classiquement, il est exclu que la particule traverse la barrière, elle n'a pas assez d'énergie. Elle tape sur cette barrière 1021 fois par seconde, sans passer ! Et pourtant, il lui arrive de passer, car sinon, il n'y aurait pas de radioactivité \( \alpha \) ...

Traverser la barrière

La zone comprise entre r0 et r1, dans laquelle l'énergie de la particule E est inférieure à l'énergie potentielle U(x) est appelée la "zone interdite", car en mécanique classique, la particule ne pourrait pas s'y trouver et donc la franchir.

C''est là qu'intervient Gamow. Il fait remarquer dans son article de 1928 que l'équation de Schrödinger prévoit que la fonction d'onde d'une particule qui heurte une barrière de potentiel se décompose comme toutes les ondes en une partie réfléchie, la plus importante, et aussi une partie incidente, qui est très faible mais non nulle.

Il propose alors de calculer la transparence de cette barrière, c'est à dire le rapport d'amplitude entre l'onde incidente et l'onde réfléchie et en déduit la constante radioactive en connaissant le nombre de collisions et la probabilité pour qu'une collision aboutisse à une libération de la particule, c'est à dire à la traversée de la barrière coulombienne. La particule \( \alpha \) franchit la barrière pour sortir du noyau par ce mécanisme, que l'on appellera "l'effet tunnel".

La zone interdite peut-elle être franchie dans l'autre sens ? Autrement dit, est-il possible qu'une particule \( \alpha \) pénètre dans le noyau par effet tunnel ? Oui ! Rutherford fit l'hypothèse de la capture d'une particule \( \alpha \) par un noyau (d'azote en l'occurence) en 1919, hypothèse qui fut confirmée en 1925 par Blackett avec les toutes nouvelles chambres à brouillard.

Calculer la constante de désintégration \( \lambda \)

L'équation de Schrödinger indépendante du temps

La forme générale de l'équation de Schrödinger, dite "time dependente", en dimension 1 est :

\( i\hbar \dfrac{\partial \Psi (x,t)}{\partial t} = -\dfrac{\hbar ^2}{2m} \dfrac{\partial^2 \Psi (x,t)}{\partial x^2} + U(x,t)\Psi(x,t) \)

Lorsque la fontion U(x,t) varie lentement, ce qui est le cas dans notre problème, il est possible d'utiliser la forme stationnaire de l'équation de Schrödinger :

\( -\dfrac{\hbar ^2}{2m} \dfrac{d^2 \Psi (x)}{ dx^2} + U(x)\Psi(x) = E \Psi(x) \)

Quelques petites manipulations  permettent de l'écrire sous une forme que vous allez reconnaitre :

\( \dfrac{d^2 \Psi (x)}{dx^2} + \dfrac{2m}{\hbar ^2} (E - U(x))\Psi(x) = 0 \)

Pour information, cette équation admet des solutions analytiques pour les trois régions : dans le puit de potentiel du noyau père, à l'intérieur de la zone interdite, et en dehors de la zone interdite. Vous les trouverez dans la littérature, en général accompagnées d'une solide étude mathématique, tout à fait accessible en Math Spé. Mais le principe de TangenteX étant de faire de la physique numérique, nous intègrerons notre équation numériquement !

Le principe

Le modèle de Gamow propose une solution approchée de l'équation de Schrödinger indépendante du temps, qui permet de calculer une valeur approchée de la constante de désintégration \( \lambda \). Il emploie pour cela une approximation dite WKB (Wentzel, Kramers, Brillouin) pour la résolution de l'équation de Schrödinger stationnaire.

Pour simplifier, je vais considérer que notre particule ne se déplace que radialement, sans mouvement angulaire. Je ferai d'ailleurs cette approximation dans toute la suite.

La probabilité que la particule traverse la zone interdite est égale au coefficient de transmission T que l'on peut approximer avec Gamow par :

\( T = e^{-2\sigma} \)

avec \( \sigma \) le facteur de Gamow \( \sigma \) donné par l'expression \( \sigma = \sqrt{\dfrac{2m_{\alpha}}{\hbar^2}} \displaystyle \int_{r_0}^{r_1} \sqrt{\left(U(x) - E\right)}dx \) avec \( U(x) = \dfrac{Z_{fils}Z_{\alpha}e^2}{4\pi\epsilon_0 x} \), soit :

\( \sigma = \sqrt{\dfrac{2m_{\alpha}}{\hbar^2}} \displaystyle \int_{r_0}^{r_1} \sqrt{\left(\dfrac{Z_{fils}Z_{\alpha}e^2}{4\pi\epsilon_0 x} - E\right)}dx \)

Cette expression contient une intégrale qui peut être facilement calculée numériquement avec Python.

Il nous reste maintenant à relier la probabilité de sortie de la particule avec \( \lambda \). Là encore, nous allons faire une approximation, en calculant l'ordre de grandeur du nombre de fois que la particule se heurte à la barrière coulombienne. Admettons que notre particule heurte la barrière, soit repoussée puis traverse le noyau et heurte à nouveau la barrière opposée. Elle a parcouru une distance de 2r0 à la vitesse \( v_{\alpha} = \sqrt{\dfrac{2E_{\alpha}}{m_{\alpha}}}\). La fréquence des collisions Fcol est donc égale à \( F_{col} = \dfrac{1}{2r_0} \sqrt{\dfrac{2E_{\alpha}}{m_{\alpha}}} \).

Il existe plusieurs estimations possibles de la fréquence de collision : celle de Krane qui fournit une fréquence d'environ 1021 Hz, celle de Fermi, qui donne 1024 Hz et d'autres qui donnent environ 1020 Hz. Les données expérimentales situent cette fréquence autour de 1022 Hz. Cette incertitude n'est pas négligeable dans la mesure où la fréquence de collision entre directement dans le calcul de \( \lambda \) comme nous allons le voir.

La suite est immédiate : \( \lambda \) est égale au produit de la fréquence de collision par la probabilité de sortie pour une collision, c'est à dire :

\( \lambda = F_{col} T \)

Pour donner un ordre de grandeur, la fréquence de collision est donc de l'ordre de 1022 Hz, et T varie entre 10-45 et 10-20 !

Nous retrouvons à travers ce résultat la relation entre \( \lambda \) et l'énergie \( E_{\alpha} \), qui intervient à la fois dans le calcul de la fréquence de collision comme dans le calcul du coefficient de transmission T. Quelques petits calculs montrent que le log de \( \lambda \) est une fonction affine de \( \dfrac{1}{\sqrt{E_{\alpha}}} \). Cette loi est magnifiquement confirmée par l'expérience.

Le script de calcul

Le script Python RadioAlpha.py permet quelques calculs avec les lignes de code ci-dessus : 

ProbG = exp(-(2./hbar)*sqrt(2*Malpha)*quad(Up,r0*Fl,r1*Fl)[0])
LambdaG = Fcol*ProbG
DVG = log(2.0)/LambdaG
print 'Modèle de Gamow'
print 'Probabilité de sortie : ',"{0:.2e}".format(ProbG)
print 'Constante de désintégration : ',"{0:.2e}".format(LambdaG)
print 'Demi-vie : ',"{0:.2e}".format(DVG), 's'

La fonction Up, qui est intégrée par quad est définie par le code suivant :

def Up(x):
    y = sqrt(C1*Zf*Zalpha*e**2/x - E*Fe)
    return y

Quelques résultats

Les données concernant les isotopes du polonium sont tirées du site Wikipedia sur le sujet.

L'équation nucléaire de désintégration du polonium 210 est :

\( _{84}^{210}Po \: \longrightarrow \:  _{82}^{206}Pb \: + \: _{2}^{4}He \)

J'obtiens les résultats suivants :

Modèle de Gamow
Probabilité de sortie :  2.66e-29
Constante de désintégration :  2.68e-08 s-1  [5,81 10^-8]
Demi-vie :  2.59e+07 s  [1,20 10^7]

Les données de référence sont \( \lambda \) = 5,81.10-8 s-1   et t1/2 = 138,376 jours, soit environ 1,20.107 secondes, valeurs que j'ai rappelé dans le script, entre crochets.

L'équation nucléaire de désintégration du polonium 212 est :

\( _{84}^{212}Po \: \longrightarrow \:  _{82}^{208}Pb \: + \: _{2}^{4}He \)

J'obtiens les résultats :

Modèle de Gamow
Probabilité de sortie :  1.87e-16
Constante de désintégration :  2.41e+05 s-1  [2.32 10^6]
Demi-vie :  2.87e-06 s  [2.99 10^-7]

Les données de référence sont  \( \lambda \) = 2.32.106  s-1  et t1/2 = 299 ns, soit environ 3.10-7 secondes

Analyse

Vous noterez que les résultats obtenus sont proches des valeurs expérimentales mais pas parfaits ! Les écarts entre le calcul et les données expérimentales s'expliquent par les simplifications assez radicales du modèle que nous utilisons, principalement :

Pour obtenir de meilleurs résulats, il faut affiner tous ces points et d'autres encore, qui ne sont pas à l'ordre du jour sur TangenteX.com.

Déterminer la constante de désintégration en intégrant numériquement Schrödinger

Il existe une autre méthode pour déterminer numériquement la valeur de \( \lambda \) : intégrer numériquement l'équation de Schrödinger et calculer le coefficient de transmission à partir de l'amplitude de la fonction d'onde à gauche et à droite de la zone interdite.

Discrétiser l'équation de Schrödinger indépendante du temps

Il y a plusieurs façons d'intégrer numériquement l'équation de Schrödinger indépendante du temps. J'ai choisi la méthode des différences finies que j'ai utilisé dans d'autres pages et détaillé ici.

En utilisant un schéma d'Euler explicite et une approximation centrée de la dérivée seconde, je peux écrire :

\( \dfrac{d^2 \Psi (x)}{dx^2} \approx \dfrac{\Psi( x + \Delta x) - 2\Psi(x) + \Psi( x - \Delta x) }{(\Delta x)^2}\)

En appliquant cette formule dans l'équation de Schrödinger et en faisant quelques manips algébriques, j'obtiens :

\( \Psi[i-1] = 2(1 - \dfrac{(\Delta x)^2 m}{\hbar ^2}(E - U[i])) \Psi[i] - \Psi[i+1] \)

Je vais ajouter les coefficients de conversion d'unités, qui me permettront de travailler en MeV et en fermi.  Je les ai appelé Fe et Fl pour transformer respectivement les joules en MeV (1.6 10-13) et les mètres en fermi (10-15), ce qui me donne :

\( \Psi[i-1] = 2(1 - Fl^2 Fe\dfrac{(\Delta x)^2 m}{\hbar ^2}(E - U[i])) \Psi[i] - \Psi[i+1] \)

Nous voilà en possession du coeur de notre programme...

Le script

J'indique ci-dessous les principaux éléments du script RadioAlpha.py qui permettent d'intégrer l'équation de Schrödinger "time independente" et de calculer la constante de désintégration radioactive.

Délimitation de la zone "interdite"

La zone "interdite" est l'intervalle [r0, r1]. La valeur de ces deux points est calculée par :

r0 = 1.07*((A - 4)**(1./3.) + pow(4,1./3.))
r1 = C1*Zalpha*(Z - Zalpha)*e**2/(E*Fe*Fl)

r0 est calculé selon la formule empirique mentionnée ci-dessus à partir des nombres de masse A des deux noyaux, fils et He. r1 est fixé à l'intersection de la courbe de potentiel et de la droite constante U(x) = E.

Définition de U(x)

Le code suivant permet de définir la fonction d'énergie potentielle à l'intérieur du noyau et à son extérieur, la limité étant fixée à r0. Quand r <= r0, la fonction potentiel est constante et égale au potentiel nucléaire du noyau, soit -40 MeV. Lorsque r > r0, le potentiel est défini par la loi de Coulomb.

U0 = -40.0              # potentiel initial en MeV
U = U0*ones(Nx)
for i in range(0,Nx):
    if x[i] > r0 :
        U[i] = C1*Zalpha*(Z - Zalpha)*e**2/(Fl*Fe*x[i])

Intégration de l'équation de Schrödinger

Il s'agit de l'implémentation directe de la formule de discrétisation calculée plus haut. Puis je procède à la normalisation de la fonction d'onde (voir ici pour plus de détail).

# conditions initiales de la fonction d'onde
Psi = zeros(Nx)
Psi[Nx-1] = E
Psi[Nx-2] = E
# calcul de la fonction d'onde
for i in range(Nx-2,2,-1):
    Psi[i-1] = 2*(1 - Fl**2*Fe*((dx**2)*Malpha/(hbar**2)*(E - U[i]))) * Psi[i] - Psi[i+1]
# normalisation de la fonction d'onde
C = simps(Psi**2,x)
Psi = Psi/sqrt(C)

Calcul de \( \lambda \) et de t1/2

Pour calculer la constante de désintégration et le temps de demi-vie, je procède en plusieurs étapes:

# calcul des indices de x pour lesquels U = Umax et U = E
for i in range(0,Nx):
    if U[i] > U0 :
        ind1 = i
        break
for i in range(Nx-1,ind1+1,-1):  
    if U[i] >= E :
        ind2 = i
        break

# calcul de l'amplitude Ain de Psi dans le noyau 0 <= r <= r0
AmpIn = max(Psi[:ind1])
# calcul de l'amplitude Aout de Psi en dehors de la barrière (E>U) r > r1
AmpOut = max(Psi[ind2:])
# calcul de la probabilité de sortie de la particule alpha
PSortie = (AmpOut/AmpIn)**2
# calcul de la constante de désintégration et de la demi-vie
Lambda = Fcol*PSortie
Demi_vie = log(2.0)/Lambda

Tracé de \( \Psi \) pour le polonium 210

Le schéma ci-dessous représente la forme de la fonction \( \Psi \) dans les trois zones : intérieur du noyau à gauche, dans la zone interdite et à l'extérieur du noyau.

Psi avant la barrière

Le facteur de grossissement de la fonction d'onde est de 50 sur ce schéma. Ce facteur est suffisant pour montrer la fonction d'onde à l'intérieur du noyau. Il est par contre totalement insuffisant pour montrer son comportement dans la zone interdite et à l'extérieur du noyau.

Sur le schéma suivant, j'ai amplifié l'amplitude de la fonction \( \Psi \) à l'extérieur de la zone interdite pour monter sa forme : une pseudo-sinusoïde décroissante :

Psi après la barrière

Sur cette courbe, le facteur de grossissement de la fonction \( \Psi \) est de 1015 ! Mais vous constatez que son amplitude n'est pas nulle : c'est la magie de l'effet tunnel !

Simulation sur les isotopes du polonium

Cas du polonium 210

Les données obtenues expérimentalement sont :

Les paramètres de simulation dans le script :

Z = 84      
A = 210     
E = 5.4     

La simulation nous donne les résultats suivants pour ces paramètres :

Résolution de l'équation de Schrödinger
Probabilité de sortie :  9.77e-29
Constante de désintégration :  9.82e-08 s-1  [5,81 10^-8]
Demi-vie :  7.06e+06 s  [1,20 10^7]

Cas du polonium 212

Les données obtenues expérimentalement sont :

Les paramètres de simulation dans le script :

Z = 84      
A = 212     
E = 8.95    

La simulation nous donne les résultats suivants pour ces paramètres :

Résolution de l'équation de Schrödinger
Probabilité de sortie :  7.24e-15
Constante de désintégration :  9.35e+06 [2.32 10^6 s]
Demi-vie :  7.41e-08 s  [2,99 10^-7 s]

Analyse

Les résultats obtenus sont corrects sans être très précis ! Là aussi, nous subissons les conséquences des approximations du modèle. Il est intéressant de les comparer avec ceux obtenus par le calcul direct.

Pour le polonium 210 :


Données expérimentales Modèle de Gamow Intégration numérique
\( \lambda\) 5,8.10-8 s-1 2,68.10-8 s-1 9,82.10-8 s-1
t1/2 1,20.107 s 2,59.107 s 7,06.106 s

Les résultats obtenus avec le modèle de Gamow sont très proches des valeurs expérimentales. Ceux obtenus par intégration numérique sont bons sans être parfaits.

Il serait intéressant d'essayer de les améliorer en utilisant un modèle de zone interdite plus "intelligent", qui prendrait en compte la superposition de l'interaction forte et de l'interaction électromagnétique. On peut aussi essayer d'autres méthodes de résolution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps, comme par exemple la méthode par "shooting".

Il n'en reste pas moins que les résultats obtenus sont réalistes. Le modèle de Gamow est une très bonne approche de la compréhension de la radioactivité \( \alpha \) mais aussi une excellente leçon de modélisation.

C'est aussi la première victoire de la mécanique quantique, qui fournit une explication plausible et cohérente avec l'expérience, du franchissement de la barrière coulombienne du noyau par une particule qui ne possède pas assez d'énergie pour la traverser d'après la mécanique classique.

Le script Python

Le script Python étudié dans cette page est disponible dans le package RadioAlpha.zip.


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