Le principe d'équivalence

Notion de masse

Le concept classique de masse

La masse est une grandeur scalaire caractéristique d'un corps, qui classiquement mesure la quantité de matière enfermée dans le corps en question. L'unité de masse est le kilogramme, qui n'est pas l'unité de poids, contrairement à ce que l'on entend sur les marchés et aussi malheureusement dans beaucoup de salles de cours...

L'apport de la relativité restreinte

En physique classique, la masse d'un corps, au sens de la quantité de matière contenue dans ce corps, est la somme des masses des composants de ce corps. Evident me direz-vous, pas si sûr .... Vous avez appris en cours que la masse d'un noyau était un peu plus faible que la somme des masses de chacun de ses constituants, protons et neutrons. C'est ce que l'on appelle le "défaut de masse", qui est très faible, de l'ordre de 10-2 pour les noyaux légers comme l'hydrogène ou l'hélium. Vous savez aussi que cette "anomalie" provient de l'énergie de liaison nécessaire pour assurer la cohésion des différents composants du noyau, le défaut de masse et l'énergie de liaison étant reliés par la célébre  formule \( E = mc^2\). Bref, quand on mesure la masse d'un noyau, et c'est aussi vrai pour celle d'un atome, on mesure de la quantité de matière mais aussi de l'énergie !

Dans un des 5 articles fondateurs de 1905 (Annalen der Physik, vol XVIII 1905, p 639-641 dans "Albert Einstein - Oeuvres choisies tome 2 - Seuil/CNRS"), Einstein l'écrit explicitement :" La masse d'un corps est une mesure de son contenu en énergie". Le titre de son article  "L'inertie d'un corps dépend-elle de son contenu en énergie" laisse entendre qu'Einstein parlait ici de masse inertielle.

L'apport de la physique quantique

Le concept de masse a largement évolué ces dernières années, en particulier depuis 2012 et la découverte du boson de Higgs. Il apparait aujourd'hui que la masse d'un corps n'est pas une caractéristique intrinsèque de ce corps mais plutôt le résultat de l'interaction de chacune de ses particules élémentaires avec un champ quantique dit "champ de Higgs", dont la particule d'intermédiation est le célèbre boson de Higgs.

Mais je m'éloigne du sujet de cette page, encore qu'il ne soit pas certain que l'étude du champ de Higgs ne remette pas un jour en question le principe d'équivalence dont nous allons parler !

Masse inertielle et masse gravitationnelle

Lois de mouvements Newton et masse inertielle

Nous avons déjà eu l'ocassion de nous pencher ici sur les trois lois de Newton qui ont fondé la mécanique classique. La première loi, dite "principe d'inertie" nous dit, dans sa version originale "Tout corps persévère dans l’état de repos ou de mouvement uniforme en ligne droite dans lequel il se trouve, à moins que quelque force n’agisse sur lui, et ne le contraigne à changer d’état" . Vous constaterez qu'il n'est pas ici question de masse, du moins pas directement. Car on peut supposer qu'il s'agit d'un corps massif, mais Newton ne le précise pas.

La seconde loi consitute le célèbre principe fondamental de la dynamique (ou PFD) que Newton exprime par « Les changements qui arrivent dans le mouvement sont proportionnels à la force motrice, et se font dans la ligne dans laquelle cette force a été imprimée"" . La traduction mathématique de cette phrase obscure est une équation que vous devez tous connaitre : \( \vec{F} = m_i \vec{\gamma}\), autrement dit en français : si l'on applique une force \(\vec{F} \) ou un ensemble de forces, de quelque nature que ce soit, à un corps de masse \( m_i \), alors ce corps sera accéléré selon une accélération notée \( \gamma \). La masse \( m_i \) est appelée la masse inertielle. Elle représente la façon dont le corps résiste aux "changements dans le mouvement" sous l'effet de la force \(\vec{F} \).

Cette forme d'expression du PFD n'est pas ma préférée... J'utilise plutôt sa forme générale, qui stipule que l'ensemble des forces appliquées à un corps est égale à la variation de quantité de mouvement du corps, soit \( \Sigma \vec{F} = \dfrac{d\vec{p}}{dt}\), sachant que \( \vec{p} = m_i\vec{v} \) et si la masse inertielle est constante, on retrouvera l'expression ci-dessus.

La masse inertielle est celle qui intervient dans toutes les lois de la dynamique, que l'origine de la variation de mouvement soit d'origine mécanique, quand je lance une balle par exemple, ou encore électromagnétique, par exemple quand une charge électrique se déplace dans un champ électrique.

Loi de la gravitation de Newton et masse gravitationnelle

Outre ses trois lois sur la dynamique, Isaac Newton apporta une autre contribution majeure à la physique : la loi de l'attraction universelle, encore nommée loi de la gravitation. Newton dit que deux corps massifs A et B de masse mA et mB, distants de r mètres, exercent l'un sur l'autre une force égale à \( F_{A/B} = F_{B/A} =  G \dfrac{m_A m_B}{r^2} \), avec G une constante, dite "constante de gravitation universelle" égale à 6.67*10-11 N.m2.kg-2

Appliquons cette formule générale à un cas particulier bien connu pour illustrer la chose... Imaginons que le corps massif A soit la Terre et que le corps massif B soit un corps d'épreuve quelconque, vous par exemple ! Le raisonnement classique consiste à reformuler le membre de droite de l'expression pour retrouver la décomposition en deux termes : l'accélération appliquée au corps B et la masse du corps B, ce qui nous permet de calculer la force que A, la Terre, exerce sur B, vous : \( F_{A/B} =  G \dfrac{m_A}{r^2} m_B\). Le terme \( G \dfrac{m_A}{r^2} \) sera nommé "l'accélération de la pesanteur", et si vous calculez sa valeur connaissant la masse de la Terre et son rayon moyen, vous retrouverez une valeur bien connue, celle de g (environ 9,81 N.kg-1).

Plusieurs remarques :

Les masses dont il est question ici sont de nature à priori différente de la masse inertielle. On les désigne sous le vocable général de masse gravitationnelle, que l'on note \( m_g\). La masse gravitationnelle d'un corps décrit la manière dont ce corps réagit à un champ gravitationnel.

Egalité de la masse inertielle et de la masse gravitationnelle ?

Nous avons donc identifié à travers les apports de Newton, une masse inertielle, celle qui s'oppose à un changement dans le mouvement, et une masse gravitationnelle, qui réagit à un champ de gravitation et qui le créé.

Considérons un calcul que tous les lycéens effectuent sans trop se poser de question. Soit un corps soumis au champ de gravitation terrestre. Nous avons vu ci-dessus que nous pouvions écrire la force qu'il subit comme \( \vec{F_g} = m_g \vec{g} \), si j'appelle \( \vec{g} \) le vecteur d'accélération du champ de gravitation terrestre et \( m_g \), la masse gravitationnelle du corps. On peut également appliquer le PFD au mouvement de ce corps, qui chute dans le champ gravitationnel de la Terre, ce qui nous donne \( \vec{F_i} = m_i \vec{a} \). Le vecteur \( \vec{a} \) est son accélération et \( m_i \) sa masse inertielle.

Si l'on vous demande de calculer la norme de \( \vec{a} \), qu'allez-vous faire ? Egaler les deux forces et simplifier par la masse, c'est à dire en considérant que \( m_g = m_i \), en utilisant le système d'unités SI.

A priori, les deux masses sont deux proriétés physiques tout à fait indépendantes, que l'on prête à un corps caractérisé par sa "quantité de matière". Pourtant, vous n'avez pas fait la différence et vous ne vous êtes pas demandé s'il fallait distinguer ces deux types de masse : pourquoi ?

Parce qu'il existe un principe, pas un théorème ni une loi, qui exprime l'équivalence de ces deux types de masse, principe dont vous n'avez probablement pas entendu parlé. C'est le principe d'équivalence que nous allons aborder maintenant.

C'est un principe car il n'est pas démontré théoriquement. Mais sa validité est vérifiée expérimentalement et jusqu'à présent, elle a toujours été vérifiée avec une précision de plus en plus grande. Mais il n'est pas impossible qu'il soit un jour invalidé. Nous approcherons ce jour là une nouvelle théorie de la gravitation !

Le principe d'équivalence

Le principe d'équivalence faible

Le principe d'équivalence faible énonce que, quelque soit le corps considéré, la valeur de la masse inertielle est égale à la valeur de la masse gravitationnelle, sous réserve du choix d'un système d'unités approprié.

Nous devons le principe d'équivalence faible à Galilée. La légende dit qu'il fit tomber depuis le sommet de la tour de Pise deux pierres de taille différente et qu'il observa que les deux pierres arrivèrent au sol dans une apparente simultanéité. Il en conclut que les deux pierres subirent la même attraction du champ gravitationnel, sans l'exprimer sous cette forme bien sur. Cette expérience est sans doute imaginaire, mais il mena d'autres expériences sur des plans inclinés, qui sont elles documentées, qui aboutirent à la même conclusion.

En généralisant l'expérience de Galilée, nous observons que tous les corps, quelque soit leur masse et leurs caractéristiques physiques, subissent la même accélération dans un champ de gravitation et suivent la même trajectoire. Dit autrement, \( \vec{a} = \vec{g} \) et donc \( m_g = m_i \). Pour citer Einstein dans "La théorie de la relativité restreinte et générale" (Editions Gauthier-Villars - 1976) au chapitre XIX : "Les corps qui se meuvent sous l'influence du champ de gravitation subissent une accélération qui ne dépend aucunement de la matière ni de l'état physique du corps".

C'est plutôt curieux non ? Comme si leur mouvement dépendait seulement du champ de gravitation et de sa géométrie plutôt que des corps eux-mêmes ! C'est curieux, parce que ce n'est vrai que pour le champ gravitationnel ! Ce n'est pas vrai pour le champ électromagnétique, dans lequel le mouvement d'un corps dépend de sa charge électrique. Cette étrangeté trouvera sa réponse dans la théorie de la relativité générale, qui prévoit qu'une masse courbe l'espace-temps et que les corps qui chutent dans un champ gravitationnel suivent tout simplement leur route le long de la courbure de l'espace-temps...

L'équivalence masse inertielle/masse gravitationnelle a été mesurée avec une précision relative grandissante. Newton atteignait l'ordre de 10-3 au XVIIième siècle, Eötvös arriva à la mesurer avec une précision de 10-9 au début du XXième et à la fin du XXième, les physiciens atteignirent une précision de 10-12 dans les laboratoires terrestres.

Un satellite fut spécialement conçu et lancé en 2016 pour vérifier avec encore plus de précision cette équivalence. C'est la mission MICROSCOPE, un satellite français du CNES, qui atteignit la précision relative de 10-14 à la fin 2017 et vise une précision de 10-15.

Pourquoi se donner tant de peine pour vérifier ce principe d'équivalence ? Parce que c'est l'un des fondements de la théorie de la relativité générale, ce qui n'est pas rien ! Et aussi parce que certaines théories d'unification, de gravitation quantique, prévoient que le principe d'équivalence serait violé à des échelles très petites de dimension.

Le principe d'équivalence d'Einstein

L'expérience de la cabine accélérée

Cette expérience est décrite par Einstein dans l'ouvrage déjà cité "La théorie de la relativité restreinte et générale" au chapitre XX, de manière très claire. Elle est reprise dans presque tous les cours d'introduction à la relativité générale.

Imaginons un laboratoire dans l'espace loin de toute masse qui pourrait générer un champ gravitationnel. Ce laboratoire est muni d'un référentiel local et occupé par un physicien. Notre physicien tient une boule dans sa main et la lâche : la boule reste immobile selon le principe d'inertie de Newton, elle flotte à coté du physicien.

Imaginons maintenant que ce laboratoire soit muni d'un crochet auquel est fixée une corde. Un "être quelconque" - l'expression est d'Einstein - tire sur la corde et imprime au laboratoire une accélération constante. Imaginons que notre physicien fasse une expérience très simple : il pend une boule à l'extrémité d'une corde fixée au plafond de son labo. Nous avons vu que si le labo ne subissait aucune accélération, la boule en question flotterait simplement à coté du physicien. Mais le labo étant accéléré, le physicien s'aperçoit que la boule est attirée vers le sol. Le physicien, ignorant tout de la situation extérieure du labo est en droit de penser qu'il se trouve immobile dans un champ gravitationnel et que la tension de la corde est due à la masse gravitationnelle de la boule.

Imaginons avec Einstein un observateur extérieur au laboratoire qui observe l'expérience. Cet observateur voit que le laboratoire est accéléré et déduit que la tension de la corde est dûe à la masse inertielle de la boule, conséquence de la troisième loi de Newton. Einstein en conclut : "nous voyons par cet exemple que notre extension du principe de relativité fait apparaître la proposition de l'égalité de la masse inerte et de la masse pesante comme nécessaire". C'est l'origine de son principe d'équivalence.

L'énoncé du principe d'équivalence d'Einstein

Le principe d'équivalence d'Einstein est une extension du principe d'équivalence de Galilée-Newton. Il stipule que ce dernier est vrai, mais ajoute qu'aucune expérience de physique ne permet de distinguer dans un référentiel local si ce référentiel est en chute libre dans un champ de gravitation ou bien s'il subit une accélération d'une autre origine. Aucune expérience de physique, sauf les expériences mettant en jeu la gravitation !

A noter que ce principe a été généralisé depuis à toutes les expériences de physique, pour devenir le principe d'équivalence fort.

Principe d'équivalence et référentiel inertiel

Imaginons maintenant un autre laboratoire qui chute dans un champ gravitationnel homogène. C'est à dire que le vecteur "accélération gravitationnelle" est identique en tous points du laboratoire. Ce laboratoire est lui aussi muni d'un référentiel local et occupé par un physicien qui procède aux mêmes expériences que son lointain voisin spatial dans son laboratoire non accéléré.

Dans les deux cas, si le physicien lâche la boule qu'il tenait en main, la boule restera immobile par rapport au référentiel du laboratoire, autrement dit, elle flottera à coté du physicien. La boule se comportera conformément au principe d'inertie de Newton, et dans les deux cas, on pourra considérer que le référentiel est inertiel.

La réalité de cette expérience de pensée est vérifiée tous les jours ! Dans l'ISS par exemple, les objets flottent s'ils ne sont pas arrimés. En fait, ils tombent dans le champ gravitationnel terrestre, avec la même accélération que la station, les astronautes et leur équipement. Le référentiel lié à l'ISS peut être en première approximation considéré comme inertiel.

L'expérience de pensée d'Einstein montre que ces différents référentiels sont inertiels : le référentiel perdu dans l'espace loin de tout, le référentiel en chute libre dans un champ de gravitation et le référentiel accéléré en translation. Dans tous les cas, si vous lachez un objet tenu dans votre main, il ne bougera pas.

Référentiel terrestre et principe d'équivalence

Revenons à la réalité quotidienne de notre laboratoire terrestre. Pour beaucoup d'expériences, nous considérons le référentiel lié à ce laboratoire comme inertiel. Un objet isolé devrait s'y comporter selon le principe d'inertie. Vous posez un objet sur une table et il vous semble au repos : est-ce exact ? Non : il est soumis au champ gravitationnel terrestre ! Et s'il ne tombe pas, c'est que la table exerce sur lui une réaction égale à son poids. Bien sur, nous négligeons tout ça en balayant ce fait d'un revers et en écrivant (pas toujours) que l'on peut considérer comme inertiel un référentiel dans lequel la somme des forces qui s'exercent sur l'objet est nulle.

A proximité de la Terre, seuls les référentiels en chute libre dans le champ gravitationnel terrestre peuvent être considérés comme inertiels, comme l'ISS ou la cabine d'ascenseur en chute libre ou encore dans la partie parabolique descendante d'un Airbus ZeroG. Le référentiel lié à notre laboratoire terrestre est un référentiel uniformément accéléré par rapport au référentiel inertiel de l'espace profond, loin de toute masse. C'est une autre manière d'exprimer le principe d'équivalence, que vous trouverez souvent dans les cours de relativité générale.

Vers la relativité générale

Le principe d'équivalence d'Einstein, sous sa simplicité et son évidence apparente, remet en cause la mécanique newtonienne de façon encore plus radicale que la relativité restreinte. Il ouvre la porte à une nouvelle théorie de la gravitation, la relativité générale, dans laquelle la cause de la gravitation n'est plus à chercher dans une force mystérieuse émanant des corps massifs, mais dans la déformation géométrique par la présence de masses de l'espace-temps.


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