Initiation aux postulats de la physique quantique

Des postulats en physique

La notion de postulat en physique classique

En arrivant au lycée, ce fut la découverte de la mécanique classique, la mécanique de Newton. Et nous avons vite appris que cette mécanique repose sur trois lois qui déterminent tout le reste : les lois de Newton. La plus connue est sans doute le principe fondamental de la dynamique, la seconde loi, qui stipule qu'une accélération appliquée à une masse produit une force égale à \( \vec{F} = m \vec{a} \). Cette loi a été vérifiée expérimentalement bien des fois, elle est à la base de presque toute notre ingénierie. Mais avez-vous le souvenir que l'on ne vous l'ait jamais démontré ? En mathématique, on démontre les théorèmes et l'on admet les axiomes. Axiomes que l'on peut changer pour construire de nouvelles mathématiques. En physique, c'est pareil ! Nous avons nos axiomes, que l'on appelle généralement des postulats.
Il y a quand même une grande différence entre les postulats de la physique et les axiomes des mathématiques. Ces derniers ne subissent pas le carcan de la réalité expérimentale... Les mathématiciens peuvent avoir l'imagination débordante et choisir des axiomes exotiques pour construire des systèmes logiques qui ne le sont pas moins. Les physiciens, eux, changent de postulats sous la contrainte, lorsque une expérience leur dit que le postulat n'est pas bon dans tel ou tel cas.
C'est ce qui arriva aux postulats de Newton. On s'aperçut il y a un siècle environ, que lorsque qu'un corps se déplaçait très vite, avec une vitesse proche de la vitesse de la lumière, alors les postulats de Newton présentaient quelques défauts. On s'aperçut aussi, il y a aussi un siècle environ, que lorsque les corps étaient très très petits, il y avait aussi quelques défauts.
Les physiciens ont inventé d'autres postulats : la physique relativiste pour les corps qui vont très vite, la physique quantique pour les corps qui sont très petits et même la physique quantique relativiste pour les corps très petits qui vont très vite.
Les postulats des physiciens ne sont pas démontrables. Ils sont tout au plus justifiables par l'expérience. Ils permettent de construire des modèles qui permettent de faire des prédictions. Et encore, cela dépend du moment : un modèle peut sembler coller à la réalité expérimentale lorsqu'on procéde aux mesures avec un certain appareil puis se révéler hors jeu lorsque l'appareil de mesure devient plus précis et plus perfectionné. Ne parlez jamais de "vérité" ou de "certitude absolue" lorsque vous faites de la physique !
Autre remarque : on pourrait construire notre mécanique classique sur d'autres postulats que ceux de Newton ! Après tout, ils sont assez curieux : vous connaissez beaucoup de systèmes réellement isolés ? Ils sont basés sur des approximations non dites, comme beaucoup de postulats en physique. D'ailleurs, certains ont construit une mécanique classique équivalente à celle de Newton sur d'autres postulats, comme Lagrange qui bâtit la mécanique lagrangienne sur le principe de moindre action de Fermat. Un autre physicien construisit une mécanique classique très efficace à partir du principe de moindre action : il s'agit d'Hamilton. Sa mécanique est si efficace qu'elle fut reprise dans les postulats de la physique quantique. Si vous faites de la physique, vous souperez d'hamiltoniens !

Vers de nouveaux postulats en physique quantique

La physique quantique a été récemment introduite au lycée (2012) et en prépa (2014). Au lycée, le cours aborde la dualité onde-corpuscule, sujet que nous avons déjà abordé dans ces pages, et la quantification de l'énergie avec le laser. En prépa, on aborde l'équation de Schrödinger et ses applications simples. Mais je n'ai vu nulle part, j'ai sans doute mal cherché, l'exposé même sommaire des postulats fondateurs de la physique quantique.

Je ne vais pas dans cette page aborder l'histoire de la physique quantique, il existe de très bons ouvrages sur le sujet, par exemple celui de Jean Hladik "Pour comprendre simplement les origines et l'évolution de la physique quantique".

Mon objectif est de présenter de la manière la plus simple possible les quelques postulats sur lesquels s'appuie la physique quantique. Vous les trouverez dans la littérature sous des vocables différents (les principes...), dans un ordre différent et parfois avec des intitulés différents. Mais vous en retrouverez toujours la matière.
Il s'agit de postulats, donc non démontrés, mais justifiés par l'expérience, du moins jusqu'à aujourd'hui. Ils s'appuient sur des mathématiques peu ou pas enseignées au lycée, mais rien d'inabordable. Et leur écriture mathématique est parfois ... baroque.
Allons-y !

Quelques bases préliminaires

La quantification de l'énergie

Revenons à un modèle physique bien connu au lycée et en prépa : le pendule simple. Considérons le cas où nous négligeons les frottements, nous avons donc une force conservatrice, sans dissipation d'énergie. Cette force dérive d'une énergie, dite énergie potentielle élastique, dont l'expression est \( E_p = \dfrac{1}{2} k x^2 \) avec les notations habituelles.

Vour remarquez que cette fonction est une fonction continue de x. Vous pouvez choisir une variation aussi petite que vous le souhaitez de x, l'énergie variera continuement dans les mêmes proportions. Bien sur, c'est de la théorie, parce que vous serez vite limités par les capacité de vos instruments de mesure et de calcul. Mais en théorie, l'énergie varie continuement.

La révolution fondatrice de la physique quantique fut l'abondon de ce paradigme. Lorsque Max Planck, pour une sombre histoire de calcul, a décidé de faire varier l'énergie par paquets (les quanta) pour résoudre la "catastrophe de l'ultraviolet", il n'a pas réalisé la portée de son geste. La première équation fondatrice de la physique quantique est \( E = h \nu \), établie par Planck en 1901 et confirmée par Einstein en 1905 avec l'explication de l'effet photo-électrique. Pour être juste, Planck ne croyait pas à une réelle quantification de l'énergie, c'est la mise en évidence et son explication de l'effet photo-électrique par Einstein qui justifia ce nouveau paradigme.

La mécanique ondulatoire de De Broglie

Einstein pensait avoir démontré que la lumière était corpusculaire, d'autant que d'autres expériences allaient dans le même sens, comme l'expérience de diffusion de Compton. Pourtant la lumière adopte clairement un aspect ondulatoire : diffraction, interférences étaient manifestes. Bref, la confusion totale.

Louis de Broglie (Nobel 1929) a proposé, en 1924 un modèle théorique qui construisit la dualité onde-particule. Son modèle est inspiré d'un raisonnement simple : si la lumière, que l'on pensait ondulatoire pouvait avoir un comportement corpusculaire, pourquoi ne pas imaginer qu'un corpuscule pouvait avoir un comportement ondulatoire ? Et d'associer à tout particule une onde "pilote" qui serait reliée à l'énergie et à la quantité de mouvement de la particule par sa longueur d'onde. Il proposa ainsi la deuxième équation fondamentale de la physique quantique \( p = \dfrac{h}{\lambda}\), avec p la quantité de mouvement de la particule, h la constante de Planck et \( \lambda \) la longueur d'onde de l'onde associée à la particule.

Il s'agit bien sur d'un modèle. Mais sa vérification expérimentale a maintes fois était établie (Davisson et Germer en 1927).. Aussi, fallait-il relier dans une théorie cohérente ces deux équations fondamentales \( E = h \nu \) et \( p = \dfrac{h}{\lambda}\).

La thèse de De Broglie inspira très fortement Erwin Schrödinger qui proposa sa célèbre équation en 1925, équation différentielle basée sur un modèle de mécanique classique (Hamilton-Jacobi), qui permettait de décrire le mouvement des ondes proposées par de Broglie. A noter que l'interprétation que l'on donne aujourd'hui à l'équation de Schrödinger n'était pas du tout celle de son inventeur ! C'est Max Born qui donna, en 1926, l'interprétation probabiliste de cette équation, interprétation la plus couramment admise audjourd'hui.

Les inégalités d'Heisenberg

Vous avez peut-être entendu dire qu'en physique quantique, il n'était pas possible de déterminer à la fois et aussi précisément qu'on le souhaite la position et la quantité de mouvement d'une particule. C'est une expression possible des inégalités d'Heisenberg édictées par Werner Heisenberg en 1927. Au pluriel, parce qu'il y en existe plusieurs, qui portent sur plusieurs couples d'observables (on verra ce qu'est une observable plus loin).

L'inégalité la plus connue est \(  \Delta x . \Delta p \ge \dfrac{\hbar}{2}\), on ne peut connaitre à la fois et aussi précisement que souhaité la position et la quantité de mouvement d'un objet quantique. Ces deux grandeurs, position et quantité de mouvement, sont des observables dites "conjuguées" ou encore "non commutatives". Il faut aussi prêter attention à l'emploi de "connaitre". Pour connaitre, il faut mesurer, et la mesure est une opération très spéciale en physique quantique. Nous verrons cela plus bas.

Il en existe d'autres paires tout aussi importantes. La plus intéressante porte sur le temps et l'énergie et s'énonce \(  \Delta E . \Delta t \ge \dfrac{\hbar}{2}\). D'abord parce que la relation entre le temps et l'énergie est assez mystérieuse. Mais aussi parce qu'il n'existe pas d'opérateur "temps" en physique quantique, ce qui donne un statut spécial à cette observable. Et enfin parce que cette relation permet l'existence de particules virtuelles qui peuvent sembler surgir du "néant".

Les inégalités d'Heisenberg ont des conséquences intéressantes. Par exemple, s'agissant de l'inégalité position-quantité de mouvement, elle signifie que la notion de trajectoire n'a pas de sens en physique quantique, pas plus que la notion d'espace de phase !

Pour l'anecdote, ce genre d'inégalité existe aussi en physique classique ! Imaginons que vous vouliez déterminer précisement à un instant donné la fréquence d'un signal. Pour mesurer le temps seul, pas de problème théorique. Mais pour mesurer la fréquence du signal, vous devez échantillonner le signal, c'est à dire que vous devez laisser écouler un délai non nul pour mesurer la fréquence. Vous ne pouvez pas mesurer avec une précision aussi grande que vous le souhaitez la fréquence d'un signal à un instant donné.

Postulat 1 : L'état d'un système quantique est défini par un vecteur d'état

L'état d'un système en physique classique

Considérons un système simple, par exemple en mécanique un pendule. Son état à un instant donné est parfaitement défini par deux grandeurs physiques: l'angle avec la verticale et sa vitesse angulaire. On peut aussi choisir d'exprimer sa position et sa vitesse angulaire en coordonnées cartésiennes, c'est moins pratique mais cela ne change rien : son état est parfaitement défini. Dans le plan d'oscillation du pendule, il faut deux variables pour définir la position (x,y) et deux variables pour définir la vitesse \( (\dot{x}, \dot{y}) \).

Prenons maintenant le cas d'un système plus compliqué, par exemple un gaz dans une enceinte. L'état de chaque molécule de gaz est codé par 6 variables : 3 variables de position (x, y, z) et 3 variables de vitesse \( (\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}) \). Le problème se trouve dans le nombre de molécules, environ \( 10^{23}  \) ou \( 10^{24}  \), soit \( 6*10^{23} \) ou \( 6*10^{24} \) variables... Ingérable ! On a donc inventé la physique statistique qui travaille avec des moyennes.

Quoiqu'il en soit, en supposant que l'on connaisse parfaitement (cela semble impossible en pratique, mais restons dans la théorie) l'état du système à l'instant t, nous saurions calculer exactement l'état du système à l'instant t+1. Le passage de l'état E(t) à l'état E(t+1) dépend uniquement de l'état E(t) et d'un système d'équations différentiellles qui formalisent les lois de la mécanique classique. On dit que notre mécanique est déterministe.

Nous allons voir que la physique quantique bouleverse ce bel édifice....

La notion de vecteur d'état

Le formalisme mathématique de la physique quantique est basé sur la notion d'espace vectoriel complexe. A ma connaissance, la notion d'espace vectoriel n'est plus abordée au lycée, sauf sans doute dans quelques classes de H4 ou LLG... C'est bien dommage. je vous renvoie donc à l'article de Wikipedia, très bien fait. Les élements d'un espace vectoriel, réel ou complexe, sont des vecteurs dont vous avez tous des notions de manipulation.

L'état d'un système quantique est "défini" par son vecteur d'état dépendant du temps, appelé "ket" et noté \( |\Psi (t)> \), élement d'un espace vectoriel complexe particulier, l'espace de Hilbert. Comme tout vecteur, il résulte d'une combinaison linéaire de vecteurs de base et de coefficients qui sont ses coordonnées dans l'espace de Hilbert.

J'ai écris le terme "défini" entre guillemets car nous entrons là dans une spécificité de la physique quantique : elle possède plusieurs interprétations ! Certains affirment que le vecteur d'état décrit l'état d'un objet quantique, c'est d'ailleurs l'interprétation la plus courante parce que la plus simple, mais pas forcément la plus convaincante. D'autres disent que le vecteur d'état est une notion statistique qui s'applique à un groupe d'objets quantiques, groupe aux propriétés statistiques spécifiques. Pour eux, parler du "vecteur d'état d'une particule" est un non-sens. Enfin, il y a ceux, les plus rigoureux, qui disent que le vecteur d'état ne décrit pas l'état d'un objet ou d'un groupe d'objets quantiques, mais qu'il qualifie la quantité d'information que nous connaissons de l'objet ou du groupe, qui résulte d'une mesure, sous-entendu que nous ne connaissons pas toute cette information.

Quelque soit l'interprétation que l'on retient du vecteur d'état d'un système quantique, il n'en reste pas moins que l'information qu'il nous donne sur l'état du système ne permet qu'une prédiction probabiliste de son évolution, comme nous le verrons avec l'équation de Schrödinger.

La fonction d'onde

Elle vous est familière ! Reprenons notre cours d'optique ondulatoire, ou peut-être seulement la page consacrée aux ondes de TangenteX.com. Et plus spécialement l'expression de l'équation des ondes ou équation de d'Alembert que nous avons abordé ici. Considérons pour simplifier une onde qui se propage dans la seule direction Ox. L'équation différentielle qui la décrit s'écrit :
\begin{align} \frac{\partial^2 \Psi (x,t)}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \Psi (x,t)}{\partial t^2} \end{align}
La fonction  \( \Psi (x,t) \) est une fonction d'onde. On retrouve la même forme dans l'équation de propagation du champ électrique où le champ \( \vec{E} \) est une fonction d'onde :
\begin{align}\Delta \: \vec{E}  = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} \end{align}

Dans les cas ci-dessus, la fonction \( \Psi (x,t) \) est une fonction réelle. En mécanique quantique, on utilise une fonction d'onde complexe.

Lorsque nous étudions le comportement d'une particule dans l'espace euclidien classique, nous allons utiliser une représentation particulière de son vecteur d'état que nous appellerons sa fonction d'onde. C'est une fonction complexe notée traditionnellement \( \Psi (\vec{r},t) \). Une chose très importante : la fonction d'onde en elle-même n'a aucune signification physique. Par contre, le carré de son module \( |\Psi (\vec{r},t)|^2 = \Psi (\vec{r},t)^* \Psi (\vec{r},t) \) représente la densité de probabilité de présence du système au point (x,y,z).
En clair, si l'on veut savoir quelle est la probabilité de trouver une particule dans un volume infinitésimal (dx,dy,dz), il suffit de calculer l'intégrale de \( |\Psi (\vec{r},t)|^2 \) sur le volume.
Autre conséquence importante : l'intégrale de \( |\Psi (\vec{r},t)|^2 \) sur tout l'espace est égale à 1, car c'est une densité de probabilité. Il est certain que notre particule est quelque part dans l'espace, sans que l'on sache dire où exactement.

Postulat 2 : Les observables physiques sont représentés par des opérateurs

Qu'est-ce qu'une observable

En physique, vous avez l'habitude de mesurer et de traiter dans vos TP et vos problèmes des grandeurs physiques : position, vitesse, angle, etc. Lorsque vous faites une mesure avec un appareil, vous obtenez un résultat et un seul pour un instant donné. Le résultat d'une mesure est un nombre et un seul. Et si vous utilisez les statistiques, c'est uniquement pour estimer l'erreur que vous avez commise lors des vos mesures successives.

La physique quantique, plus précisément Dirac, introduit une nouvelle notion essentielle, celle d'observable. Son nom est symbolique : on ne peut parler et mesurer que des grandeurs physiques que l'on sait observer. La définition du mot "observable" en physique quantique est moins drôle...

On dit qu'à chaque grandeur physique est associé un opérateur linéaire hermitien qui agit sur l'espace d'état de l'objet quantique, opérateur que l'on nomme "observable". A chaque grandeur physique correspond son observable, c'est à dire son opérateur hermitien (on dit aussi hermitique).

Dit autrement, si j'appelle A une grandeur physique et \( \hat{A} \) son observable, cela signifie que l'opérateur ( \hat{A} \) extrait du vecteur d'état de l'objet quantique une information sur la grandeur A.

Qu'est-ce qu'un opérateur

Qu'est-ce qu'un opérateur et qui plus est, un opérateur linéaire hermitien ?

Nous avons déjà abordé la notion d'opérateur différentiel dans les pages de TangenteX. Le terme "linéaire" doit également vous être familier. Reste le terme "hermitien"... 

On va oublier la définition mathématique pour ne retenir qu'une contrainte absolue : les opérateurs de la physique quantique sont très souvent complexes alors que les mesures de grandeurs physiques sont toujours réelles. Comme la mesure d'une grandeur physique dépend d'un opérateur, ce que nous verrons ci-dessous, cette contrainte impose certaines caractéristiques aux opérateurs, dont le fait que leurs valeurs propres soient réelles. C'est le cas des opérateur hermitiens.

Une autre caractéristique des opérateurs quantiques : la commutativité. On dit que deux opérateurs \( \hat{A} \) et \( \hat{B} \) sont commutables si \( \hat{A} \hat{B} = \hat{B} \hat{A} \), c'est à dire que leur produit est commutatif. On écrit généralement cette condition sous la forme \( \hat{A} \hat{B} - \hat{B} \hat{A} = 0 \) et l'on parle dans ce cas d'observables qui commutent. On définit d'ailleurs un opérateur, le commutateur, noté \( [\hat{A},\hat{B}] = \hat{A} \hat{B} - \hat{B} \hat{A} \).

De cette caractéristique, on tire au moins deux règles très importantes en physique quantique. Considérons un ensemble d'observables (de grandeurs physiques si vous préférez) d'un système quantique : le nombre d'observables qui commutent dans cet ensemble détermine le nombre de degrés de liberté du système. Si deux observables de cet ensemble commutent, cela signifie que l'on peut mesurer simultanément ces deux grandeurs physiques. On peut donc en déduire que l'observable "position" et l'observable "quantité de mouvement" ne commutent pas....

Quelques opérateurs usuels

La position

Les coordonnées cartésiennes x,y et z sont associées aux fonctions x(t), y(t) et z(t), ce qui donne des opérateurs multiplicatifs \( \hat{x} = x \), \( \hat{y} = y \) et \( \hat{z} = z \).

La quantité de mouvement

L'opérateur "quantité de mouvement", pour la composante selon Ox est défini par \( \hat{p_x} = -i\hbar \:  \dfrac{\partial}{\partial x}\). Pour l'espace euclidien 3D, on peut le résumer par \( \hat{\vec{p}} = -i\hbar \:  \vec{grad} \).

Munis de ces définitions, nous pouvons maintenant vérifier que les observables position et quantité de mouvement ne commutent pas. Calculons \( [\hat{x},\hat{p_x}] = \hat{x} \hat{p_x} - \hat{p_x} \hat{x} \). Nous obtenons \begin{align} [\hat{x},\hat{p_x}] = -i\hbar (x\dfrac{\partial \Psi}{\partial x} - \dfrac{\partial (\Psi.x)}{\partial x}) \end{align} soit : \begin{align} [\hat{x},\hat{p_x}] = -i\hbar(x\dfrac{\partial \Psi}{\partial x} -  x \dfrac{\partial \Psi}{\partial x} - \Psi \dfrac{\partial x}{\partial x}) \end{align} et finalement : \begin{align} [\hat{x},\hat{p_x}] = i\hbar \Psi \end{align} Le commutateur est non nul : d'après la règle énoncée précédement on ne peut pas mesurer simultanément la position et la quantité de mouvement !

L'énergie cinétique

L'opérateur d'énergie cinétique est \( \hat{T} = -\dfrac{\hbar^2}{2m} \Delta \)

L'énergie potentielle

L'opérateur d'énergie potentielle est \( \hat{V} = V \)

L'hamiltonien

L'hamiltonien est la somme des opérateurs d'énergie potentielle et cinétique d'où \( \hat{H} = -\dfrac{\hbar^2}{2m} \Delta + \hat{V} \).

Postulat 3 : Les résultats d'une mesure sont les valeurs propres d'un opérateur

La nature de la mesure en physique quantique

Les résultats de la mesure d'une grandeur physique A sont les valeurs propres \( a_n \) de l'observable \( \hat{A} \).

Il faut savoir que les valeurs propres d'un opérateur hermitien, donc d'une observable, sont des valeurs réelles, ce qui tombe bien pour des résultats de mesure !

Un petit rappel sur les vecteurs propres et valeurs propres d'un opérateur

Les notions de vecteur propre et valeur propre sont abordées en algèbre linéaire en prépa. Considérons une application linéaire f dans un espace vectoriel E. On dit que le vecteur \( \vec{v} \), non nul,  est un vecteur propre de f si \( f( \vec{v}) = \lambda \vec{v} \). Le coefficient de proportionnalité \( \lambda  \) est la valeur propre de f associée à \( \vec{v} \).

En physique quantique, on utilise une définition identique. Soit une observable \( \hat{A} \). Un vecteur \( | \Psi_a > \) est vecteur propre de l'observable et \( a_n \) la valeur propre associé au vecteur propre si  \( \hat{A} | \Psi_a > \:  = \: a_n |\Psi_a > \).

Postulat 4 : Le résultat d'une mesure est déterminé par une probabilité

La probabilité d'obtenir le résultat \( a_n \) lors d'une mesure est égale au produit scalaire du vecteur d'état \( |\Psi (t)> \) et du vecteur propre \( |\phi_n> \) : \begin{align}  p(a_n) = | <\phi_n |\Psi (t)> |^2 \end{align}

Postulat 5 : L'influence d'une mesure sur l'état d'un système quantique

En physique classique, il est possible de prévoir le résultat d'une mesure sur une grandeur physique. D'autre part, l'action de mesure ne perturbe pas l'état du système, en théorie du moins.

L'opération de mesure en physique quantique est très différente : il n'est pas possible de prédire le résultat d'une mesure. Et lorsque la mesure est effectuée, l'état du système est modifié, c'est que l'on appelle la "réduction du paquet d'ondes".
Imaginons par exemple que nous effectuions une seconde mesure, immédiatement après la première. Appellons \( a_0 \) le résultat de cette mesure qui est la valeur propre de l'observable mesurée. Après cette mesure, le vecteur d'état est modifié en devenant le vecteur propre associé à \( a_0 \). Troublant non : effectuer une mesure modifie l'état du système ! Avant la mesure, le vecteur d'état avait une quantité non définie de vecteurs propres, après la mesure, il n'en a plus qu'un.

Tout cela se démontre mathématiquement à partir des postulats ci-dessus, mais on va oublier temporairement...

Postulat 6 : L'évolution d'un système quantique est fixé par l'équation de Schrödinger

L'évolution d'un système en mécanique classique

En mécanique classique, l'évolution d'un système est parfaitement déterminée par une équation différentielle ou un système d'équations différentielles et un jeu de conditions initiales supposées exactement connues. Nous sommes à notre échelle macroscopique dans un monde déterministe.

Dans un système mécanique classique, aucune particule ne peut passer une barrière de potentiel par miracle. Une bille au fond d'une cuvette ne pourra sortir de la cuvette que si et seulement si on lui fournit une quantité d'énergie cinétique supérieure à l'énergie potentielle du haut de la cuvette. En physique quantique, on abandonne le déterminisme et les "miracles" sont possibles, c'est l'effet tunnel, et d'autres tout aussi étranges.

L'équivalent de la seconde loi de Newton, notre PFD de la mécanique classique, en physique quantique est l'équation de Schrödinger.

L'équation de Schrödinger

Dans sa forme moderne, générale et condensée, sa forme la plus élégante, son expression est des plus simples : \begin{align} \hat{H} \Psi = E \Psi \end{align} C'est une équation dont la variable n'est plus la position de la particule (déterministe) mais sa fonction d'onde (probabiliste) \( \Psi \)

\( \hat{H} \) désigne l'hamiltonien du système. C'est un opérateur de mécanique classique qui a été adpaté à la physique quantique. Il désigne l'énergie totale du système, la somme de son énergie potentielle et de son énergie cinétique. Les valeurs propres de \( \hat{H} \) sont les énergies possibles du système et les vecteurs propres de \( \hat{H} \) sont les vecteurs d'état (ou fonctions d'onde) du système.

En prépa et licence, vous trouverez cette équation dépendante du temps (instationnaire) sous la forme : \begin{align} i \hbar \dfrac{\partial}{\partial t}\Psi (\vec{r},t) = [-\dfrac{\hbar ^2}{2m} \vec{\nabla}^2 + V(\vec{r})]\: \Psi (\vec{r},t) \end{align} Sa forme stationnaire, indépendante du temps, est un peu plus simple : \begin{align}  [-\dfrac{\hbar ^2}{2m} \vec{\nabla}^2 + V(\vec{r})]\: \Psi (\vec{r}) = E  \: \Psi (\vec{r}) \end{align}

Vous constatez que c'est une équation de premier ordre par rapport au temps. Cela implique que :

L'équation de Schrödinger est linéaire, c'est à dire que si \( \Psi_1 \) et \( \Psi_2 \) sont des solutions, alors  \( \Psi_3 (\vec{r},t) = \alpha \: \Psi_1 (\vec{r},t) + \beta \: \Psi_2 (\vec{r},t) \) est aussi une solution, avec \( \alpha \) et \( \beta \) deux nombres complexes. On retrouve le principe de superposition déjà rencontré en optique ondulatoire et en électromagnétisme.

Que nous dit l'équation de Schrödinger

Pour discuter de l'équation de Schrödinger, je vous propose d'utiliser sa version la plus simple : stationnaire et 1D : \begin{align}  -\dfrac{\hbar ^2}{2m} \dfrac{d^2 \Psi}{dx^2} + V(x) \: \Psi =  E \: \Psi \end{align}

Cette équation décrit l'évolution d'une particule de masse m, à l'état stationnaire. L'énergie potentielle de la particule en fonction de sa position est notée V(x). E est son énergie totale.

Si nous posons que notre opérateur hamiltonien est égal à \(  H =  -\dfrac{\hbar ^2}{2m} \dfrac{d^2}{dx^2} + V \) alors nous retrouvons l'écriture classique aux valeurs propres : \(  H \: \Psi = E \: \Psi  \).

Commençons par examiner notre équation dans le cas où V(x) est nul, cas le plus simple. Notre équation devient : \begin{align}  -\dfrac{\hbar ^2}{2m} \dfrac{d^2 \Psi}{dx^2} =  E \: \Psi \end{align}

Cette équation différentielle est très classique et la solution bien connue, sous réserve de se souvenir que \( \Psi \) est une fonction complexe. Cette solution est : \begin{align} \Psi (x) = \alpha \: e^{ikx} + \beta \: e^{-ikx}  \end{align} avec \( E = \dfrac{\hbar^2k^2}{2m}\), \( \alpha \) et \( \beta \) deux constantes complexes et k le vecteur d'onde. Par commodité, je choisis \( \beta = 0 \) et donc ma solution devient : \begin{align} \Psi (x) = \alpha \: e^{ikx}  \end{align}

Calculons le carré du module de cette solution : \begin{align} ||\Psi (x)||^2 = \Psi \Psi^* =  ||\alpha ||^2  \end{align} ce qui dans l'interprétation classique de Copenhague de la mécanique quantique, signifie que la densité de probabilité de présence de notre particule est une constante indépendante de sa position. En d'autres termes, quelque soit l'endroit de la droite Ox, nous avons autant de chance de trouver la particule là plutôt qu'ailleurs. En bref, on ne sait pas où elle est !

Par contre, l'équation de De Broglie nous permet de calculer sa quantité de mouvement \( p = k \: \hbar \). Nous connaissons précisément sa quantité de mouvement mais ignorons sa position : l'inégalité d'Heisenberg...

Pour vous amusez, faites le même calcul en choisissant \( \alpha = \beta = 1 \) ce qui nous donne : \begin{align} \Psi (x) = e^{ikx} + e^{-ikx}  \end{align} La densité de probabilité de présence devient : \begin{align} ||\Psi (x)||^2 = \Psi \Psi^* =  4 \cos ^2 (x)  \end{align} La probabilité de présence de la particule n'est plus indépendante de la position et est maximum aux "noeuds" \( x = \dfrac{n \pi}{k} \). Contrairement au cas ci-dessus, nous avons un peu plus de précision sur la position de la particule : nous avons plus de chance de la trouver à certains endroits plutôt qu'à d'autres. Mais alors dans ce cas, Heisenberg nous dit que nous devrions avoir plus d'incertitude sur sa quantité de mouvement ! Est-ce exact ?

La solution est la superposition de deux ondes de vecteur d'onde \( +k = \dfrac{\hbar}{p_1} \) et \( -k = \dfrac{\hbar}{p_2} \), avec donc deux quantités de mouvement différentes \( p_1 \) et \( p_2 \). Que se passe-t-il si nous mesurons la quantité de mouvement de la particule, en tenant compte des éléments que nous venons de voir sur la mesure ?
Si nous faisons une seule mesure, la quantité de mouvement mesurée sera soit \( p_1 \) soit \( p_2 \). Si nous faisons plusieurs mesures, nous avons 50% de chance d'obtenir \( p_1 \) comme résultat et autant de chance d'obtenir \( p_2 \). La répartition égale provient du fait que les coefficients \( \alpha \) et \( \beta \) sont égaux.

En résumé, nous connaissons un peu plus précisément la position de la particule et un peu moins sa quantité de mouvement. C'est le sens de l'inégalité d'Heisenberg.

L'étude de l'équation de Schrödinger est un vaste sujet. Nous y reviendrons sur quelques exemples simples dans d'autres pages.

En résumé

La connaissance des postulats de la physique quantique me semble nécessaire dès que l'on aborde ce sujet. Pour plusieurs raisons, mais en particulier parce que cela permet de comprendre comment et sur quelles bases est née cette théorie. Les étudiants en physique doivent apprendre à reconnaitre les axiomes fondateurs d'une théorie pour être capable de les remettre en cause si besoin.

Pour finir, un conseil de lecture. Je vous recommande vivement de lire "Les indispensables de la mécanique quantique" de Roland Omnès. Vous y retrouverez de façon bien plus détaillée les éléments que j'ai abordé dans cette page. Et pour les plus motivés, plongez-vous dans les amphis de mécanique quantique de  Jean-Louis Basdevant ("12 leçons de mécanique quantique").

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