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Analyse du problème

Un peu d'histoire

Vous avez déjà entendu de nombreuses fois dans vos cours de physique, et sur les énoncés de DM et DS, l'expression "référentiel terrestre supposé galiléen". Une autre page du site aborde la notion de référentiel. Abordons putôt le sens des mots "supposé galiléen". Si l'on suppose qu'il est galiléen, c'est qu'il est possible qu'il ne le soit pas. C'est d'ailleurs le cas ! Le référentiel terrestre, lié à notre chère planète, n'est pas galiléen. Et pourquoi donc ? Parce que la Terre tourne sur elle-même, elle est en rotation autour de son axe !

Pas évident me direz-vous ! Dans la vie quotidienne, la rotation de la Terre ne saute pas aux yeux (à part bien le passage jour/nuit, mais que l'on peut interpréter comme une révolution du Soleil..). Peu d'entre nous sont pris de tournis, encore que... En fait, il n'est pas évident de démontrer la rotation de la Terre, sans faire appel à des références externes comme les étoiles (lointaines supposées fixes bien sur, comme le veut la tradition épistolaire des rédacteurs de problèmes de physique!), ce qui pose d'autres problèmes...

En février 1851, Foucault (Léon le physicien, pas le philosophe ou le présentateur télé, tous deux très postérieurs) propose une expérience qui démontre le caractère non galiléen du référentiel terrestre et donc la rotation de la Terre. Il fit cette magnifique expérience au Panthéon (d'ailleurs répétée en 1996). Il s'agissait de suspendre une masse de 30 kg à un câble de 67 m, de fabriquer un pendule donc, et d'observer ses oscillations. Dans un référentiel galiléen, le plan vertical d'oscillation est fixe. Or, dans l'expérience de Foucault, on voit bouger ce plan de rotation, qui trace une figure (dans le sable répandu sur le sol du Panthéon) assez caractéristique. Voilà l'objet de notre étude : étudier ce mouvement pour retrouver l'évolution du plan d'oscillation du pendule.

Pour dépasser le sujet, et être hors sujet aussi, je vous recommande vivement la lecture du livre de Umberto Eco "Le pendule de Foucault", qui est assez éblouissant.

Etablir les équations du mouvement du pendule de Foucault

Appliquons la méthode standard de résolution d'un problème de mécanique: le système est composé d'une sphère pesante supposée ponctuelle de masse m, le référentiel d'étude est le référentiel terrestre supposé non galiléen (pour une fois!). Je définis un référentiel \( \vec{e_x}, \vec{e_y}, \vec{e_z} \), orienté respectivement Sud, Est, haut.
Le bilan des forces s'établit comme suit:

Je vais faire les approximations suivantes:

Muni de tout ça, j'écris classiquement le PFD dans le référentiel terrestre : \( m\vec{a } = \vec{P} + \vec{T} + \vec{F_{ic}} \), soit en projetant sur le repère, et appliquant les approximations et en posant \( \omega_0^2 = \dfrac{g}{L} \)  et  \( \Omega = \omega \sin(\lambda) \) (\( \omega \) est la vitesse de rotation de la Terre et \( \lambda \) la latitude du lieu) , j'obtiens le système différentiel suivant :
    \( \dfrac{d^2x}{dt^2} - 2\omega \dfrac{dy}{dt} + \omega_0^2 x = 0 \)     (1)
    \( \dfrac{d^2y}{dt^2} + 2\omega \dfrac{dx}{dt} + \omega_0^2 y = 0 \)     (2)

La manière la plus élégante de traiter ce système est de l'écrire sous sa forme complexe, en respectant les règles habituelles. Si j'appelle u = x + i*y, j'obtiens donc à partir des équations (1) et (2): 

\( \dfrac{d^2u}{dt^2}  + 2i\omega \dfrac{du}{dt} + \omega_0^2 u = 0 \)      (3)

Les solutions

La résolution de l'équation (3) est classique. Elle passe par la recherche des solutions de l'équation caractéristique \( r^2 + 2i\omega r + \omega_0^2 = 0 \), pas vraiment difficile... Les conditions initiales sont également faciles à établir, sachant que l'on peut négliger \( \omega \) devant \( \omega_0 \).

Ce qui nous donne comme solution :
\( x =  x_0\cos(\omega_0 t)\cos(\omega t) \)
\( y = -x_0\cos(\omega_0 t)\sin(\omega t) \)

J'ai considéré que la sphère évoluait dans le plan horizontal, je ne mentionne donc pas le mouvement en z.
Nous voilà les heureux possesseurs de deux équations qui vont nous permettre de tracer la rotation du plan d'oscillation vertical du pendule.

Le programme

La version Scilab

Le programme Scilab, est très simple. Il se décompose en trois : la déclaration des différents paramètres, le calcul et le tracé. Je reprends ici le source qui n'est pas très volumineux:

//**************************************************************************
// Simulation de la trajectoire du plan d'oscillation du pendule de Foucault
// Dominique Lefebvre Octobre 2012
// TangenteX.com
//**************************************************************************
// Définition des paramètres généraux
DeuxPi = 6.28;
DureeJour = 24*3600; // durée du jour en USI
// Définition des paramètres du pendule
TPendule = 3600; // Période du pendule en USI
// Saisie de la latitude
lat = input("Latitude du lieu (en degres): ");
lat = lat*DeuxPi/360; // latitude en rad
// Paramètres dérivés
Omega0 = DeuxPi/TPendule;
OmegaT = DeuxPi/DureeJour; // vitesse angulaire de la Terre en USI
OMEGA = OmegaT*sin(lat);
if lat > 0
 TPlanOsc = DeuxPi/OMEGA; // période du plan d'oscillation verticale en USI
else
 TPlanOsc = 0.0; // cas du calcul à l'équateur
end;
// conditions initiales
t0 = 0;
x0 = 1.0;
y0 = 0;
// Paramètres de simulation
PasTemp = DureeJour/1000;
t = t0:PasTemp:DureeJour;
// Calcul
x = x0*cos(Omega0*t).*cos(OMEGA*t);
y = -x0*cos(Omega0*t).*sin(OMEGA*t);
// Tracé
n = length(t);
plot2d(x(1:n),y(1:n),style = 2);
// Libellés
xtitle("Pendule de Foucault - Rotation du plan d''oscillation");
lib1 = cat(2,'Latitude = ', string(lat*360/DeuxPi), 'degrés');
xstring(-0.95,0.90,lib1);
lib2 = cat(2,'Période = ', string(TPlanOsc/3600), 'heures');
xstring(0.35, 0.90,lib2);

Quelques commentaires:

Le source est téléchargeable ici.

La version C

C'est la copie conforme du programme Scilab, adaptée au C, et avec les lignes de code nécessaires à la librairie graphique. A la différence du code Scilab, je me suis arrangé de telle sorte qu'on puisse suivre le tracé de la trajectoire. La vitesse du tracé est ajustable avec le paramètre TEMPO en tête de code.

Le source est téléchargeable ici ainsi que le fichier projet.

Les résultats

Le tracé avec Scilab

Pendule de Foucault Scilab

Le tracé en C

Pendule de Foucault C

Commentaires

Vous norerez que pour les mêmes paramètres (latitude de Paris) les tracés sont identiques, ce qui est rassurant!

La période du plan d'oscillation vertical dépend de la latitude (par son sinus). On peut donc en déduire rapidement, ou le calculer avec le programme, qu'aux pôles cette période vaut 24 heures et qu'elle est nulle à l'équateur. Il serait d'ailleurs intéressant de tracer la courbe de variation de la période en fonction de la latitude...

Dans la version C, vous pouvez suivre le tracé. Vous remarquerez donc que certaines lignes se superposent après un instant donné dans le déroulement de l'expérience. Vous ne manquerez pas de rapprocher ce phénomène de la période de la rotation du plan d'oscillation, notée en bas à droite de l'écran.


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