Rappels sur les ondes

Qu'est-ce qu'une onde

Définition

La propagation d'une perturbation

Le concept d'onde est relativement récent en physique. C'est Christiaan Huygens qui l'introduisit à la fin du 17eme siècle, pour décrire la propagation de la lumière et du son, par analogie avec les ondes qui se propageaient sur l'eau.

On peut définir une onde comme la modification locale et temporaire de l'état d'un système (la perturbation), modification qui se propage de proche en proche avec retour à l'état initial du système lorsque l'onde est passée.

Le système perturbé peut être de nature très diverse: un gaz (onde de pression), un solide (vibration), un liquide (onde de pression), un champ (onde électromagnétique, gravitationnelle). Cependant, toutes ces ondes possèdent les mêmes propriétés, en particulier de transporter de l'énergie, de l'information ou de l'impulsion, mais jamais de matière. Cette homogénéité de caractéristiques s'explique par l'existence d'une équation générale qui décrit le phénomène ondulatoire.
Les ondes peuvent se propager dans deux types de milieux: les milieux dispersifs, comme le verre ou l'eau, et les milieux non dispersifs (ou presque) comme le vide ou l'air. Dans la suite, nous considérerons que le milieu de propagation est non dispersif.

L'équation d'une onde monodimensionnelle

On démontre (c'est au programme des prépas) que toute onde est solution de l'équation suivante, donnée ici pour une onde de dimension 1:

\begin{align} \dfrac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} = \dfrac{1}{v^2}\dfrac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2} \end{align}

Il s'agit d'une équation aux dérivées partielles dite équation de "d'Alembert", qui décrit les variations dans le temps et l'espace de l'onde. v est la célérité de l'onde. Pour les ondes électromagnétiques, on a bien sur v = c.
La forme générale des solutions de cette équation, découverte par d'Alembert, s'écrit:

\begin{align} \Psi(x,t) = F(x - vt) + G(x + vt) \end{align}

où F et G sont des fonctions à définir. Du point de vue physique, il s'agit de la superposition de deux ondes se propageant à la vitesse v en sens opposé. F se propage dans le sens croissant des x, et G se propage dans le sens décroissant des x. Notons que cette superposition n'est possible que parce que l'équation de d'Alembert est linéaire.
Vous n'avez sans doute pas l'habitude de voir l'équation solution sous cette forme, mais plutôt sous la forme (la phase est nulle ici):

\begin{align} \Psi(x,t) = \Psi_m \sin(\dfrac{2\pi}{\lambda}(x - vt)) \mbox{ ou encore } \Psi(x,t) = \Psi_m \cos(\dfrac{2\pi}{\lambda}(x - vt)) \end{align}

Si vous manipulez les dérivées partielles, vous pourrez vérifier que ces deux équations sont solutions de l'équation de d'Alembert. Nous verrons plus loin pourquoi vous trouverez dans vos manuels le plus souvent la forme en cosinus. Les américains préfèrent la forme en sinus...
J'ai choisi ici arbitrairement l'onde solution qui se propage dans le sens des x croissants. La solution \( \Psi(x,t) = \Psi_m \sin(\dfrac{2\pi}{\lambda}(x - vt)) \) est bien sur tout aussi valable, dans le sens décroissant des x.

Nombre d'onde et pulsation

Il est très fréquent d'utiliser deux notions propres aux ondes: le nombre d'onde et la pulsation:

En utilisant ces deux notations, on peut écrire la solution de l'équation des ondes précédente : \( \Psi(x,t) = \Psi_m \sin(kx - \omega t) \) ou si vous préférez \( \Psi(x,t) = \Psi_m \cos(kx - \omega t) \), qui représente une onde sinusoïdale se propageant dans le sens positif avec Ψ = 0 pour x = 0 et t = 0.

Phase et vitesse de phase

Dans le paragraphe précédent, nous avons considéré que Ψ = 0 pour x = 0 et t = 0. Ce n'est pas toujours vrai ! Si Ψ(x,t) n'est pas nulle à l'origine, on introduit une grandeur supplémentaire que l'on appelle la phase et que l'on note φ. L'équation générale de l'onde devient donc:

\begin{align} \Psi(x,t) = \Psi_m \sin(kx - \omega t + \phi) \end{align}

La vitesse de phase d'une onde, notée vφ est la vitesse de propagation de la phase dans l'espace. Choisissons un point particulier, très classiquement le sommet de la sinusoïde, la vitesse de phase est la vitesse de propagation de ce point. Sa valeur est alors vφ = λ/T = ω/k.

Superposition d'ondes

Principe

Nous l'avons déjà évoqué. Il découle de la linéarité de l'équation de d'Alembert. De cette linéarité, il résulte que toute combinaison linéaire de solutions de l'éqation est aussi solution de l'équation.
Pratiquement, il suffit d'observer les rides à la surface d'un étang. Lorsque deux rides se croisent, leur amplitude s'ajoutent en donnant une ride plus importante puis chaque ride repart de son coté.

Visualisation

Plutôt qu'un long discours, je vous propose un petit programme qui illustre la superposition de plusieurs ondes. C'est le programme Maple Ondes1.mpl, qui visualise 2 ondes de pulsation différente ainsi que leur somme. Vous pouvez bien sur le modifier pour changer les pulsations ou encore ajouter une ou plusieurs ondes. Voilà un exemple d'exécution:

Superposition d'ondes

Les deux ondes sont en rouge et bleu. La somme des deux ondes est en vert. Je vous laisse analyser ce graphique, en particulier l'amplitude de l'onde verte et sa période...

Le programme Maple Ondes.mpl visualise lui la propagation d'une onde mécanique. Il s'agit d'une animation. Pour la déclencher, faites un clic droit sur l'image après avoir chargé le programme dans Maple. Allez dans l'item Animation du menu puis faites play.

Paquet d'ondes

Principe

Jusqu'à présent, nous n'avons fait aucune hypothèse sur l'étendue de la propagation d'une onde. Dans la réalité, il est clair qu'une onde ne se propage pas indéfiniment dans le temps et dans l'espace. En fait, les ondes physiques réelles sont en général non périodiques, limitées dans le temps et dans l'espace. Il faut donc trouver un moyen de représenter cette réalité. On utilise pour ce faire la notion de paquet d'ondes.

On peut définir un paquet d'ondes comme la superposition d'un grand nombre d'ondes dont les pulsations sont distribuées autour d'une pulsation moyenne ωm. Imaginons que la pulsation ω varie dans un intervalle centré sur ωm et large de 2Δω, ce qui représente sa distribution fréquentielle. on associera à cette distribution fréquentielle, une distribution spatiale, c'est à dire un intervalle de 2Δk centré autour de de km.
On démontre alors que l'équation de la fonction d'onde résultante est de la forme:

\begin{align} \Psi(x,t) = \Psi_m sinc(\Delta \omega t - \Delta kx)\cos(\omega_m t - k_m x) \end{align}

la fonction sinc étant la fonction sinus cardinal telle que sinc(x) = sin(x)/x. La fonction sinc décrit l'enveloppe du paquet d'ondes, alors que la fonction cos décrit l'onde moyenne enveloppée dans le paquet d'ondes.
En fait, la distribution fréquentielle utilisée ici n'est pas très réaliste. On utilise plutôt une distribution gaussienne des fréquences dans le paquet d'ondes.
En reprenant les notions mentionnées ci-dessus, on peut définir un paquet d'ondes comme un signal de distribution fréquentielle non nulle sur un intervalle [ωm - Δω ; ωm + Δω] avec Δω << ωm.
Plus précisément, la fonction d'onde d'un paquet d'ondes est de la forme \( \Psi(x,t) = \int_{-\infty}^{+\infty} g(\omega)\cos(kx - \omega t)d\omega \) ou sous sa forme complexe \( \underline{\Psi}(x,t) = \int_{-\infty}^{+\infty} g(\omega)\exp(ikx)\exp(-i\omega t)d\omega \). La fonction g(ω) est le spectre du signal et donc, d'après la définition de la transformée de Fourier, un paquet d'ondes est la transformée de Fourier de la fonction g(ω)eikx.

Vitesse de groupe

La vitesse de groupe est la vitesse de propagation de l'enveloppe du paquet d'ondes. Dans un milieu non dispersif, la vitesse de groupe vg est égale à  Δω/Δk.
Dans un milieu non absorbant, on montre que la vitesse de groupe s'identifie à la vitesse de propagation de l'information. Aussi, la vitesse de groupe vg est-elle toujours inférieure à c. Mais il arrive que la vitesse de phase vφ soit supérieure à c, ce qui n'est pas contraire à la relativité restreinte, la phase ne transportant aucune information.

Visualisation

Là aussi, un petit programme vaut mieux qu'un long discours. Voici donc le programme Ondes2.mpl qui illustre un paquet d'ondes et sa propagation dans un milieu non dispersif et non absorbant.
Pour construire ce paquet d'ondes, j'emploie sa définition intégrale donnée plus haut et je choisis un spectre gaussien, c'est à dire que la fonction g(ω) sera une fonction de distribution gaussienne centrée sur ω0. Pour calculer la fonction d'onde complexe Ψ(x,t) j'utilise la fonction fourier de Maple, qui me simplifie bien la vie. Puis je trace la partie réelle de Ψ(x,t). Vous pourrez constater en lisant le code du programme Ondes2 que Maple permet d'obtenir d'excellents résultats avec peu de moyens!
A titre d'illustration, voici le graphe du spectre gaussien centré sur ω0 = 10:

Spectre gaussien

et le paquet d'ondes correspondant... C'est une animation, que vous pouvez démarrer comme mentionné plus haut:

paquet d'ondes

Nous avons déjà rencontré les paquets d'onde en abordant l'équation de Schrödinger. En effet, les paquets d'onde sont indispensables pour étudier l'aspect ondulatoire du comportement d'une particule. Vous pouvez vous reporter à cette page pour en apercevoir l'utilisation en physique quantique.

Notation exponentielle

Vous aurez sans doute noté que la physique des ondes consomme beaucoup de calculs sur des fonctions trigonométriques. Et vous savez d'expérience que ces calculs sont longs et pénibles, sans parler de la ribambelle de formules plus ou moins bizarres qu'il faut retenir ! Les physiciens étant des personnes pragmatiques, ils ont vite essayé de trouver une parade à cet enfer... Elle est apparue sous la forme d'une équation qui est maintenant connue de tous les élèves de TS : e = cosθ + isinθ. Cette formule magique transforme des cosinus et sinus en exponentielles, bien plus faciles à manipuler.

Soit y une grandeur sinusoïdale fonction du temps. Je peux l'écrire sous deux formes: y1 = Acos(ωt + φ) ou y2 = Asin(ωt + φ). ω est la pulsation, φ est la phase à l'origine et ωt + φ la phase à l'instant t.
En combinant ces deux formes et en appliquant la formule d'Euler, je peux construire les deux grandeurs complexes conjuguées :

Y1  = A(cos(ωt + φ) + isin(ωt + φ)) = Aei(ωt + φ)
Y1* = A(cos(ωt + φ) - isin(ωt + φ)) = Ae-i(ωt + φ)

Nous constatons donc que y1 = Re(Y1) = Re(Y1*) et que y2 = Im(Y1) = -Im(Y1*).

Pour représenter un phénomène sinusoïdal, vous pouvez employer indifférement la forme y1 ou y2 et la forme complexe correspondante. Mais il faudra faire très attention à respecter la même notation tout au long du calcul et lors du passage des complexes aux réels. Cependant, la plupart des auteurs (surtout français) préfèrent la forme y1 en cosinus car Re(Y1) = Re(Y1*), ce qui évite bien des erreurs...

En adoptant la notation y1, remarquons que l'on peut écrire Y1 = Aeφeiωt. La valeur Aeφ est l'amplitude complexe de Y1.

Si donc je reprends la notation de ma fonction d'onde Ψ(x,t) = Ψmcos(kx - ωt), je peux la noter Ψ(x,t) = Ψmei(kx - ωt). L'onde réelle correspond à la partie réelle de sa représentation complexe, soit Ψ(x,t) = Re(Ψ(x,t)).

La notation complexe est une aide au calcul qui permet d'effectuer les opérations linéaires simplement: addition, soustraction, dérivation, intégration. Mais attention, les produits et les puissances doivent ABSOLUMENT être calculés avec la représentation réelle des ondes.


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