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Introduction

En 1661, Pierre de Fermat écrivit : "Il n'y a rien de si probable ni de si apparent que cette supposition, que la nature agit toujours par les moyens les plus aisés, c'est à dire ou par les lignes les plus courtes, lorsqu'elles n'emportent pas plus de temps, ou en tout cas par le temps le plus court, afin d'accourcir son travail et de venir plus tôt à bout de son opération".

C'est ainsi que Fermat exposait son principe de "moindre temps", applicable dans le domaine de l'optique, et qui lui permit de démontrer la loi de diffraction de Descartes n1sin(i1) = n2sin(i2). Cette citation est tirée du cours de l'X, enseigné par Jean-Louis Basdevant et reporté dans son livre "Le principe de moindre action", dont je vous recommande vivement la lecture.

Avec le principe de "moindre temps", nous entrons dans le domaine de l'influence de la philosophie sur les idées de la physique. Car ce principe repose sur une idée métaphysique surprenante : la Nature de Fermat (ou l'Etre suprême de Maupertuis) est paresseuse, partisante du moindre effort, aurait dit mon père qui n'était pas physicien. Basdevant fait remonter cette esthétique de la physique aux philosophes grecs. Je n'irai pas jusque là mais l'histoire est intéressante et instructive.

Le principe "de la moindre quantité d'action", que l'on doit à Pierre-Louis Moreau de Maupertius en 1744, est le prélude à l'introduction de la mécanique lagrangienne et hamiltonienne. Pour tout dire, on retrouve dans ce principe la racine de la plupart des lois de la physique. Alors, peut-être faudrait-il ériger la "moindre quantité d'action", la paresse, comme un dogme fondamental ! Le premier élève qui me retourne cet argument sera félicité chaudement.

Voici comment Maupertuis exprime son principe, que l'on désigne aujourd'hui comme le principe "de moindre action" : "L'Action est proportionnelle au produit de la masse par la vitesse et par l'espace. Maintenant, voici ce principe, si sage, si digne de l'être suprême : lorsqu'il arrive quelque changement dans la nature, la quantité d'Action employée pour ce changement est toujours la plus petite qu'il soit possible".

A la suite Maupertuis, qui en donnait une définition assez métaphysique, Euler définit l'action sous la forme d'une intégrale \(\displaystyle S = \int mvdl \). D'après le principe de "moindre action" donc, tout mouvement s'effectue en minimisant cette intégrale d'action. La mécanique, plus généralement la physique, serait un processus d'optimisation. Hamilton a finalisé le formalisme et d'ailleurs on retrouve souvent le principe de moindre action sous le nom de "principe d'Hamilton", surtout dans la littérature anglo-saxonne.

Pourquoi le monde a-t-il été bâti sur la base de ce principe, le "principe d'économie naturelle" comme l'écrivaient Liebniz et Fermat, je ne sais pas. La question plus juste serait pourquoi la "nature" se laisse-t-elle modéliser selon ce principe, pour ne pas confondre la réalité du monde et le modèle que nous en construisons.

Le principe de moindre action reste un principe métaphysique, philosophique. Il n'a jamais été démontré. Il n'a jamais été constesté expérimentalement. Il a fécondé toute la physique, en particulier la physique quantique, avec Feynman et ses intégrales de chemin, qui en découlent directement. Ce principe ne possède aucun fondement autre que l'idée philosophique que la "Nature" est paresseuse. Et pourtant, c'est l'un des principes les plus utiles à connaitre, sinon le principe le plus utile à connaitre.

Le principe de moindre action n'est plus au programme de physique, ni au lycée ni en classes préparatoires. Pas plus que la mécanique lagrangienne n'est introduite en classes préparatoires. Pourtant, au milieu des années 1970, en classe de mathématiques spéciales, nous avions droit à une introduction à la mécanique lagrangienne avec référence au principe de moindre action. Les systèmes de particules isolés ou non étaient abordés à travers leurs équations de Lagrange et les théorèmes comme le théorème du centre de masse ou du moment cinétique étaient tirés de ces mêmes équations. Ceux que cela intéressent peuvent se faire une idée de la chose en se plongeant dans le "Mécanique 2" de Annequin et Boutigny §5,6 et 7, grand classique des manuels de physique de taupe.

Pourquoi cet enseignement a-t-il disparu, au profit de l'utilisation unique de la mécanique newtonienne, je ne sais pas. Pourtant, tous les physiciens s'accordent à dire que le principe de moindre action est un des principes de base de toute la physique, qui irrigue toutes ses branches, de l'optique à la physique quantique. Son utilisation, à travers le calcul variationnel, constitue même une branche non négligeable des mathématiques (voir en particulier le cours de Jean-Pierre Bourguignon à l'X).

J'ai pour projet d'éditer une page de TangenteX sur l'introduction de la mécanique lagrangienne et hamiltonienne, disons plutôt une présentation très succincte, histoire de vous sortir de Newton. Et je me suis aperçu que cela passer obligatoirement par la présentation du principe de moindre action, même à un niveau très élémentaire. C'est l'objet de cette page.

Une approche élémentaire du principe

La méthode classique du lycée

Imaginons que l'on vous demande, au lycée, de définir la trajectoire d'une particule de masse m dans le champ de pesanteur terrestre. Pour simplifier, nous nous limiterons à un mouvement dans le plan.

Vous procéderez probablement selon les méthodes apprises pour la résolution d'un problème de mécanique :

En bref, le problème comporte les données suivantes : la masse de la particule, les forces qui s'appliquent sur la particule, et les conditions initiales du mouvement. Le reste relève de la méthode et des outils. Et il est très rare que ces méthodes et outils soient uniques. Le principe de moindre action fournit justement une autre classe d'outils que le PFD pour résoudre notre problème.

Une autre approche

Revenons sur la nature du problème. Il s'agit d'une particule de masse m , située à l'origine des temps choisie pour le problème, notée t0, au point A(x0,y0). A l'origine des temps, la particule est animée d'une vitesse v0. Nous venons de définir les conditions initiales de la trajectoire de la particule : 2 données pour sa position (x0,y0) et deux pour sa vitesse initiale (vx0, vy0).

Cette définition est un parti pris : si j'étais un artilleur, je fixerais plutôt ma position initiale A(x0,y0), le point où se situe mon canon, et la position B(x1,y1) de la cible que je veux atteindre. Il me resterait à calculer la vitesse initiale v0 de la munition de masse m pour atteindre la cible (son module et l'angle de tir). Le problème est le même mais la méthode différente. Et dans l'approche "artilleur", le point B a une importance qu'il n'a pas dans l'approche précédente.

Dans l'approche "artilleur" , la reformulation du problème consiste donc à trouver le chemin le plus court/le plus rapide entre A et B, en tenant compte des contraintes qui sont ici le champ de pesanteur terrestre.

Action et lagrangien

Par définition, l'action S est définie comme la valeur de l'intégrale entre t0 et t1 d'une fonction notée \( \mathcal{L} \), que l'on nomme lagrangien telle que :

\( \displaystyle S = \int_{t_0}^{t_1}\mathcal{L}(x,\dot{x}) dt \)

Dans notre cas, le lagrangien \( \mathcal{L} \) dépend des trois variables x, \(\dot{x} \) et t, représentant respectivement la position et la composante horizontale de la vitesse \( \dfrac{dx}{dt} \).

Les variables x et \( \dot{x} \) sont appelées "variables d'état" du système. Le lagrangien est défini par \( \mathcal{L} = E_C - E_P \), la différence entre l'énergie cinétique et l'énergie potentielle du système.

Dans notre exemple, l'énergie cinétique EC du système s'exprime par \( E_C = \dfrac{1}{2}m \dot{x}^2 \) et l'énergie potentielle EP par la fonction V(x,t), qui caractérise le potentiel de pesanteur. On obtient donc l'expression de l'action dans notre problème :

\( \displaystyle S = \int_{t_0}^{t_1} \left(\dfrac{1}{2}m \dot{x}^2 - V(x,t)\right) dt \)

Appliquer le principe de moindre action

Il s'agit de trouver la fonction f(x) qui minimise l'intégrale d'action. En d'autres termes, il s'agit de minimiser une fonctionnelle. Mathématiquement, cela ressort du calcul variationnel (ou calcul des variations, comme vous voulez). Il n'est bien sûr pas question d'aborder ce sujet ici, nous allons donc y aller avec les mains...

Je ne vais pas vous le démontrer ici, mais le principe de moindre action se traduit mathématiquement, pour un seul degré de liberté, par l'équation :

\( \displaystyle \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} - \dfrac{d}{dt} \left(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}}\right) = 0 \)

Cette équation s'appelle l'équation d'Euler-Lagrange du système.

Evaluons les deux termes du membre de gauche de l'équation. Le premier terme se développe :

\( \displaystyle \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{1}{2}m \dot{x}^2 - V(x,t)\right) = - \dfrac{\partial V}{\partial x} \)

Pour traiter le second terme, il faut remarquer que \( \displaystyle \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}} =  \dfrac{\partial}{\partial \dot{x}} \left(\dfrac{1}{2}m \dot{x}^2 - V(x,t)\right) = m \dot{x} \).

Je peux donc écrire \(\displaystyle \dfrac{d}{dt} \left(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}}\right) = \dfrac{d}{dt}\left(m \dot{x}\right) \), d'où finalement :

\( \displaystyle \dfrac{d}{dt} \left(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}}\right) = m \ddot{x} \).

En reportant ces différentes valeurs dans notre équation d'Euler-Lagrange, je trouve : \( -\dfrac{\partial V}{\partial x} - m \ddot{x} = 0 \), soit l'équation que vous reconnaissez tous :

\( m \ddot{x} = -\dfrac{\partial V}{\partial x} \)

car bien sûr, vous vous souvenez que la gravitation est une force conservatrice, et que l'attraction gravitationnelle \( \overrightarrow{F} \) qui s'exerce sur ma particule dérive d'un potentiel V, et que je peux donc écrire \( F = -\dfrac{\partial V}{\partial x} \).

En partant de considérations énergétiques, et en utilisant l'équation d'Euler-Lagrange à un degré de liberté, je retrouve l'expression de la seconde loi de Newton.

L'énoncé du principe de moindre action

Les coordonnées généralisées

Considérons le cas général dans lequel nous voudrions désigner la position des N particules indépendantes d'un système dans l'espace tridimensionnel. Dans la majorité des cas, nous utiliserions les coordonnées cartésiennes (xi, yi, zi) pour désigner la position de la particule i dans le référentiel utilisé. Sous ces hypothèses, il nous faut donc 3N variables pour déterminer la position de l'ensemble des particules du système de manière unique. On désigne ce nombre, 3N, comme le nombre de degrés de liberté du système. Par exemple, une particule qui se déplace dans le plan nécessite deux variables pour déterminer sa position (xi, yi), on dit donc que le système formé par cette particule possède 2 degrés de liberté.

Lagrange a étendu cette notion en introduisant le concept de "coordonnées généralisées", notées traditionnellement q. Si un système physique possède s degrés de liberté, alors il est nécessaire de mettre en oeuvre s coordonnées généralisées notées (q0,...,qs). Ces coordonnées généralisées ne sont pas forcément les coordonnées cartésiennes, mais peuvent être n'importe quelle grandeur représentative de l'état du système, un angle par exemple. C'est d'ailleurs un des avantages de l'utilisation de ces coordonnées : on peut utiliser la variable la plus représentative du système, et pas forcément les coordonnées cartésiennes. Par exemple, lorsque vous étudiez le mouvement du pendule, il est plus simple d'étudier la variation de l'angle du pendule, plutôt que celles des coordonnées cartésiennes de la masse oscillante.

Quelques remarques sur ces coordonnées :

A partir des coordonnées généralisées, on définit des vitesses généralisées, notées \( \dot{q_i} \), et qui sont égales à \( \dot{q_i} = \dfrac{dq_i}{dt} \). On peut également définir des accélérations généralisées et des forces généralisées, mais nous y viendrons dans la page sur la mécanique lagrangienne.

La notion d'action

Nous avons vu plus haut une définition de l'action S, dans un cas particulier. Plus généralement, l'action S se définit par :

\( \displaystyle S = \int_{t_0}^{t_1}\mathcal{L}(q,\dot{q},t) dt \)

où t0 est l'instant initial de la trajectoire du système et t1 l'instant quelconque auquel on observe le système. La fontion \( \mathcal{L}(q,\dot{q},t) \) est le lagrangien du système exprimé en coordonnées généralisées.

L'action S est une grandeur physique de dimension M.L2.T-1, d'unité J.s, mais elle ne se mesure pas.

Une remarque d'ordre mathématique : le lagrangien \( \mathcal{L} \) est une fonction. L'action, définie par l'intégrale du lagrangien, est donc une fonction de fonction. On appelle ce genre d'objet une "fonctionnelle".

Le principe de moindre action

Le principe de moindre action, ou principe d'Hamilton, tient dans l'hypothèse que la dynamique d'un système entre deux instants quelconques de sa vie dépend d'une seule grandeur, nommée action, qui sera toujours minimisée au cours du mouvement.

Dit autrement, ce principe nous dit que la dynamique du système est entièrement déterminée par son lagrangien, et que la trajectoire du système est obtenue en minimisant l'intégrale d'action \( \displaystyle S = \int_{t_0}^{t_1} \mathcal{L}(q,\dot{q},t) dt \). Ce n'est pas plus compliqué que ça. On peut l'illustrer par le schéma suivant :

Moindre action

Une infinité de trajectoires sont possibles, mais une seule répond au principe de moindre action.

Enfin presque, parce que connaître le lagrangien du système ne sert pas à grand chose, si l'on ne sait pas minimiser l'action S. A cette définition, il fauy ajouter l'apport décisif d'Euler, qui inventant ce que l'on appelle les équations d'Euler-Lagrange, équations qui vont nous permettent de calculer la trajectoire du système.

Pour un système de s degrés de liberté, la minimisation de l'action est obtenue en résolvant le système d'équations d'Euler-Lagrange :

\( \displaystyle \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i} - \dfrac{d}{dt} \left(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q_i}}\right) = 0 \)

pour tout i variant entre 1 et s.

Dans la page consacrée à la mécanique de Lagrange et d'Hamilton, nous verrons quelques exemples d'applications du principe de la moindre action. Mais pour ne pas vous laisser sur votre faim, je vous donne deux exemples élémentaires dans la suite de cette page.

Pourquoi utiliser le principe de moindre action

L'utilité d'aller vous compliquer la vie avec des dérivées partielles et une mécanique que vous ne maitrisez pas ne vous frappe peut-être pas de premier abord !

Le principe de moindre action et l'utilisation de la mécanique lagrangienne et hamiltonienne qui lui sont rattachées présentent quelques intérêts pratiques et théoriques dans la résolution de problèmes de mécanique, que je résume brièvement ici :

J'y reviendrai plus en détails dans la page consacrée à la mécanique lagragienne et hamiltonienne. Je souligne aussi que la mécanique hamiltonienne est également transposable à d'autres domaines de la physique : électromagnétisme, optique, physique quantique, et qu'il est toujour utile d'harmoniser les méthodes et les outils.

Une application élémentaire : la loi de Kirchhoff

J'ai écrit plus haut que toutes les lois de la physique classique pouvaient être retrouvées en appliquant le principe de moindre action. Il est temps d'en montrer un exemple. Commençons par quelque chose de très simple, un exemple tiré du cours de JL Basdevant sur les principes variationnels.

Soit un circuit formé de deux résistances ohmiques montées en parallèle, de valeurs respectives R1 et R2 :

Loi Kirchhoff

J'injecte dans ce circuit un courant d'intensité i. Comme vous le savez, ce courant va se décomposer en deux courants i1 et i2, dont l'intensité dépendra de la valeur de R1 et R2, respectivement. Vous le savez, parce que vous avez appris les lois de Kirchhoff, plus précisément la loi des noeuds et la loi des mailles. Dans cette dernière, vous utilisez une variable secondaire, la ddp aux bornes de chaque résistance. Et vous dites : R1i1 = R2i2 avec comme contrainte venue de la loi des noeuds : i = i1 + i2.

Est-il possible de procéder autrement, en considérant l'énergie globale du système ?

Notre objectif est d'utiliser le principe de moindre action, "d'économie naturelle" dirait Fermat. Cherchons donc quoi minimiser dans notre circuit électrique. La réponse est évidente : les pertes d'énergie par effet Joule ! Il faut donc trouver le minimum de la fonction \( W = R_1i_1^2 + R_2i_2^2 \) avec \( i = i_1 + i_2 \).

Remplaçons i2 par son expression en fonction de i et i1, et dérivons par rapport à i1 (on pourrait tout aussi bien dériver par rapport à i2), soit :

\( \dfrac{\partial W}{\partial i_1} =  \dfrac{\partial}{\partial i_1}\left(R_1i_1^2 + R_2(i - i_1)^2\right) \)

et en remarquant que i = i1 + i2

\( \dfrac{\partial W}{\partial i_1} = 2R_1i_1 - 2R_2i_2 \)

Minimiser les pertes par effet Joule revient à annuler la dérivée de W, soit à poser :

\( 2R_1i_1 - 2R_2i_2  = 0\)

CQFD !

En utilisant le principe de moindre action, nous nous sommes épargné l'usage d'une variable locale, la différence de potentiel aux bornes de chaque résistance, en raisonnant sur une variable globale, l'énergie du système.

Certes, sur un circuit à deux branches, il n'est pas certain que le bénéfice de la méthode apparaisse immédiatement. Mais je pense au modèle de calcul applicable à un réseau de transport d'électricité, constitué de 10 000 lignes (au hasard...). Pour calculer l'intensité dans chaque ligne, il faudrait inverser à chaque pas de calcul (en "temps réel" diraient abusivement certains) une matrice carrée de 10 000 élements : complétement irréaliste ! Alors que les algorithmes d'optimisation sont eux très performants. Parce que, sur le plan numérique, le principe de moindre action revient à un algorithme d'optimisation. Et ça, les numériciens savent très bien faire...

Retrouver la première loi de Newton

La première loi de Newton est le principe d'inertie. Son expression moderne est " Dans un référentiel d’inertie, tout point matériel, ne subissant aucune interaction, a une vitesse constante, éventuellement nulle".

Est-il possible de retrouver ce résultat, que Newton éleva au rang de "loi", à partir du principe plus général de la physique qu'est le principe de moindre action ? C'est un peu plus compliqué que l'exemple précédent...

Considérons un corps de masse m qui se déplace dans l'espace homogène et isotrope, espace muni d'un référentiel galiléen. Cherchons l'expression du lagrangien \( \mathcal{L} \) qui réponde aux exigences des caractéristiques de cet espace-temps et à celles du principe de moindre action :

Pour satisfaire à ces conditions, le lagrangien \( \mathcal{L} \) est une fonction du module de la vitesse \(\mathcal{L} = \mathcal{L} v^2 \). L'équation d'Euler-Lagrange devient \( \dfrac{d}{dt} \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial v} = 0 \), d'où \( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial v} = C \), C une constante. Comme le lagrangien \( \mathcal{L} \) ne dépend que de v2, alors on obtient v = constante. C'est le principe d'inertie.

Par des calculs et considérations similaires, on retrouve les seconde et troisième lois de Newton.

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