L'expérience de Millikan

Millikan et la charge électrique élémentaire

La notion de charge électrique élémentaire au début du 20eme siècle

Le début du 20eme siècle marque aussi le début de l'ère quantique. L'énergie (plus précisément l'action, mais les deux grandeurs sont liées) fut quantifiée par Planck. La lumière le fut par Einstein. La dualité onde-corpuscule pointait son nez à l'horizon de la physique moderne. Concernant la charge électrique élémentaire, autrement dit l'électron, que savait-on? Voici un point très rapide:

Lorsque Millikan entreprit ses travaux sur la valeur de la charge électrique élémentaire, l'existence de l'électron était bien établie, le rapport e/m correctement estimé et la valeur probable de la charge électrique élémentaire évaluée. Restait à la mesurer directement.

L'objectif de Millikan

Robert A. Millikan était un physicien américain (1868 - 1953), connu pour ses travaux sur l'effet photoélectrique, les rayons cosmiques et les décharges électriques dans les gaz. C'est bien sur ce dernier domaine qui nous intéresse. Notons qu'il reçut le prix Nobel de physique en 1923 pour ses travaux sur la charge électrique.
Millikan cherchait à mesurer directement la charge électrique élémentaire. Il décida en 1908, avec son assistant Fletcher, de reprendre une expérience de C.Wilson, qui consistait à observer le comportement d'un brouillard dans un champ électrique, en modifiant cependant considérablement les conditions expérimentales.
Son objectif était de mesurer la charge électrique de chaque goutte, pour un nombre élevé de gouttes d'huile (et non plus d'eau comme Wilson). Il pourrait ainsi vérifier s'il existait un rapport entier entre les charges mesurées et donc en déduire la valeur de la charge électrique élémentaire. Ce qui fut fait en 1909. Millikan publia ses résultats en 1911.

Description de l'expérience de Millikan

Le principe de l'expérience

Le principe de l'expérience de Miilkan est relativement simple. Imaginons une gouttelette d'huile, très petite, et chargée électriquement. Cette gouttelette est soumise à la force de gravitation qui entraine sa chute. Si cette chute a lieu dans l'air, elle est aussi soumise à d'autres forces, plus ou moins négligeables.
Imaginons maintenant que cette chute ait lieu dans un champ électrique. En faisant varier la valeur de ce champ, il est possible de créer une force sur la gouttelette qui soit suffisante pour compenser la force de gravitation et stopper ou freiner cette chute.
Nous savons mesurer le rayon de la gouttelette et donc calculer son poids et nous savons que la force électrique subit par la goutte est proportionnelle au champ électrique. Le facteur de proportionnalité est q, un multiple de la charge élémentaire électrique e !
Voilà donc un moyen de mesurer directement e! Comment ? En effectuant les mesures sur une grande quantité de gouttelettes, puis en établissant statistiquement la valeur de q, puis de e.
Le principe est simple, mais l'expérience assez délicate. Chaque apprenti(e) physicien(ne) tente un jour de refaire l'expérience, avec des résultats souvent mitigés...

Le dispositif expérimental

Schéma de principe

Le schéma de principe du dispositif expérimental est décrit par Millikan lui-même dans son document "On the elementary electrical charge and Avogadro constant" :

Principe experience Millikan

On distingue sur ce schéma:

Le dispositif réel

La photo ci-dessous montre l'ensemble du dispositif expérimental de Millikan:

Labo Millikan

Ici, nous distinguons mieux le coeur du dispositif, c'est à dire l'enceinte, le dispositif de pulvérisation d'huile, la batterie, les différentes ouvertures et le microscope.

Coeur dispositif Millikan

Vous trouverez sur le net des dispositifs plus modernes pour réaliser cette expérience, mais ils sont tous basés sur le principe de Millikan.

Modélisation de l'expérience

Principes de la modélisation

Ce qu'est la modélisation

En physique numérique, nous sommes amenés à exercer deux activités fondamentales: la modélisation et la simulation. Dans certains livres et discours, ces deux activités sont confondues. Elles sont pourtant très différentes. On créé un modèle d'un phénomène physique, c'est la modèlisation. On étudie le fonctionnement du modèle, c'est la simulation.

La modélisation a pour objet de construire une représentation simplifiée, donc imparfaite, d'un objet ou d'un phénomène. En physique, cette représentation est un ensemble d'équations qui décrivent plus ou moins parfaitement l'évolution du phénomène.
Un phénomène physique dépend d'une multitude de paramètres, plus ou moins bien identifiés et maitrisables. Ils jouent un rôle plus ou moins important dans l'évolution du phénomène. Le but de la modélisation est de construire un modèle le plus simple possible, qui reproduira le comportement du phénomène dans ses aspects essentiels.
Vous comprendrez donc que la grande difficulté de modéliser consiste à sélectionner les paramètres que l'on conserve et ceux que l'on néglige. C'est tout un art et la source d'erreurs multiples et quelque fois amusantes ou dramatiques.

La simulation a pour objet d'étudier le fonctionnement du modèle, afin d'en tirer des enseignements sur le fonctionnement du phénomène modélisé. Dans notre cas, il s'agira d'implémenter les équations du modèle puis d'en étudier les solutions. Ceci implique de:

Les hypothèses simplificatrices de modélisation

Dans notre modèle, nous ferons les hypothèses simplificatrices suivantes:

Millikan, dans ses manipulations, a tenu compte de tous ces paramètres et bien d'autres. Vous trouverez les détails dans son article mentionné ci-dessus.

Bilan des forces

Commençons, comme il se doit pour tout problème de mécanique, par choisir un référentiel et faire le bilan des forces en présence.
La nature de l'expérience me conduit à choisir un référentiel galiléen: durée relativement courte de l'expérience, étendue géographique faible, localisée dans le référentiel terrestre. Je peux considérer que le mouvement a lieu uniquement dans le plan vertical et donc je choisirai un système d'un seul axe Oz orienté vers le bas.
Etablissons ensuite le bilan des forces en présence. En l'absence de champ électrique, chaque gouttelette d'huile est soumise à:

Lorsque le champ électrique est établi, la gouttelette subit aussi:

Visualisons cela sur un schéma:

Experience Millikan - bilan des forces

Sur ce schéma, je suppose que le champ électrique appliqué sur les plaques du condensateur n'est pas suffisant pour empêcher la gouttelette de tomber. Sa vitesse est orientée vers le bas et la force de trainée vers le haut.

L'équation différentielle du mouvement

Troisième étape de résolution d'un problème de mécanique, souvent la plus importante: établir l'équation différentielle de mouvement d'une gouttelette. Nous utiliserons bien sur la seconde loi de Newton dans un référentiel galiléen, ce qui nous donne:
\( \vec{P} + \vec{P_a} + \vec{F_t} + \vec{F_e} = m \vec{a} \)
Projetons cette équation vectorielle sur l'axe Oz en prenant garde aux signes, nous obtenons:
\( \dfrac{4}{3} \pi r^3 \rho_{h} g - \dfrac{4}{3} \pi r^3 \rho_{a} g - 6 \pi \eta r v_z - qE = m \dfrac{dv_z}{dt} \)
Réarrangeons maintenant cette équation en passant tous les termes contenant la vitesse à gauche et en factorisant ce qui doit l'être. Nous obtenons:
\( m \dfrac{dv_z}{dt} + 6 \pi \eta r v_z = \dfrac{4}{3} \pi r^3 g( \rho_{h} - \rho_{a}) - qE \)
En divisant tous les membres par m, on obtient l'équation différentielle :
\( \dfrac{dv_z}{dt} + \dfrac{6 \pi \eta r}{m} v_z = \dfrac{1}{m}(\dfrac{4}{3} \pi r^3 g( \rho_{h} - \rho_{a}) - qE) \)

Nous voilà doté de notre modèle d'évolution d'une gouttelette d'huile chargée dans un champ électrique. Nous allons donc pouvoir simuler les variations de la vitesse à l'aide d'un petit programme qui résoudra notre équation différentielle.

Solution analytique

L'équation différentielle que nous obtenons est de la forme y' + Ky = C. C'est une équation classique du premier ordre qui admet une solution analytique. Essayons de l'établir.
Posons K = \(\dfrac{6 \pi \eta r}{m} \) et C = \(\dfrac{1}{m}(\dfrac{4}{3} \pi r^3 g( \rho_{h} - \rho_{a}) - qE) \)
L'équation différentielle admet une solution qui est la somme de la solution générale et d'une solution particulière. La solution générale de l'équation est \( v = v_0 e^{-Kt} \) et une solution particulière est \(v = \dfrac{C}{K} \).
D'où la solution de notre équation : \( v = v_0 e^{-Kt} + \dfrac{C}{K} \).
Il reste à établir la valeur de la constante d'intégration \( v_0 \). Nous considérerons que la vitesse initiale de la gouttelette est nulle, ce qui nous donne \(0 = v_0 e^{0} + \dfrac{C}{K} \) et donc \( v_0 = - \dfrac{C}{K} \). D'où finalement la solution de notre équation :
\( v = \dfrac{C}{K} (1 - e^{-Kt}) \)
Posons \( \tau = \dfrac{1}{K} \), nous obtenons alors:
\( v = \dfrac{C}{K} (1 - e^{-\dfrac{t}{\tau}}) \)
qui est une forme bien connue de solution...

Le fait de posséder une solution analytique au problème est une chance ! C'est relativement exceptionnel et cela nous permetttra de contrôler la précision de la simulation numérique.

Analyse rapide du modèle

Notons d'abord que la fonction solution de notre modèle admet une limite finie lorsque t tend vers l'infini : \( \lim_{t\rightarrow \infty} \dfrac{C}{K} (1 - e^{-\dfrac{t}{\tau}}) = \dfrac{C}{K} \). ce qui signifie que la vitesse tend vers une vitesse limite, qui dépend de C et de K, et donc de la valeur q que nous cherchons à mesurer.
En fonction des valeurs de C et de K, nous obtenons la vitesse limite \( v_{limite} = (\dfrac{1}{6 \pi \eta r})(\dfrac{4}{3} \pi r^3 g( \rho_{h} - \rho_{a}) - qE) \).
La valeur de la constante de temps \(\tau\) du système est très petite. Un rapide calcul d'ordre de grandeur nous dit que la constante de temps est de l'ordre de 10-5 s-1. Cela signifie que la vitesse limite est atteinte très vite, en quelques dizaines de microsecondes.

La mesure expérimentale de q

Pour déterminer la charge électrique élémentaire e, il faut d'abord mesurer la charge électrique q d'une gouttelette d'huile et être capable de reproduire la mesure dans les mêmes conditions sur un grand nombre de gouttelettes.
Millikan a proposé deux méthodes de mesure de q : la méthode de l'équilibre et la méthode à champ constant. Voyons ces deux méthodes.

La méthode de l'équilibre

C'est la méthode qui vient le plus rapidement à l'esprit mais aussi la moins précise. Elle comporte plusieurs étapes :

La principale difficulté de cette méthode, et la source de sa relative imprécision, tient à la difficulté de déterminer l'instant où la gouttelette est immobile ! Le rayon typique d'une gouttelette est d'un micromètre. A cette échelle, le mouvement brownien n'est plus négligeable et n'importe quel observateur constatera que la gouttelette bouge constamment. Il est très difficile de déterminer la valeur de E pour laquelle la gouttelette s'immobilise. Et c'est d'autant plus vrai que la vitesse des gouttelettes est faible.
Une autre difficulté est de conserver un environnement constant lors de la mesure des toutes les gouttelettes. En particulier, le maintien d'une température constante n'est pas simple, alors que les gouttelettes sont fortement éclairées afin qu'on puisse les distinguer au microscope.
Il faut donc trouver autre chose....

La méthode à champ constant

Dans cette méthode, le champ électrique appliqué est constant mais sa polarité est inversible. Lorsque la vitesse limite est atteinte, nous avons deux cas:

Comme avec la première méthode, il reste à faire les mesures sur un grand nombre de gouttelettes afin d'obtenir des résultats statistiquement significatifs.

Le traitement statistique des mesures

Millikan a donc accumulé des grandes quantités de mesures de q. On en trouve des exemples dans l'annexe de son document mentionné ci-dessus. Il reste que pour passer des nombreuses mesures de q à la valeur de e, il faut appliquer un traitement statistique approprié.

Un programme de simulation en Python

L'objet de la simulation

Notre simulation, très simple, vise à:

Le programme

J'utilise la fonction odeint du package scipy.integrate pour intégrer l'équation différentielle, qui est définie dans la fonction Millikan. Je vous encourage vivement à étudier cette fonction dans la doc du package scipy.integrate, car je l'utiliserai souvent. Elle ressemble beaucoup dans son objet, et même dans les algorithmes utilisés, aux fonctions ode de Maple, Matlab ou Scilab.
Pour faire les quelques manips ci-dessous, j'ai modifié légèrement le code, par exemple en introduisant et en visualisant la courbe de points obtenus en utilisant la solution analytique de l'équation (qui apparaît en commentaire dans le code ci-dessous).
Voici donc le code du script Python (pensez à le décompresser avant de l'utiliser), que vous pourrez télécharger ici:

# programme de simulation de l'experience de Millikan

# Dominique Lefebvre pour TangenteX.com

# 12 février 2014

#

# importation des librairies

from scipy.integrate import odeint # on importe uniquement ce dont on a besoin

from pylab import * # fonction de tracé de courbe

# paramètres physiques de l'expérience

eta = 1.81e-5 # viscosité de l'air (en Pas.s à 293K)

rhoA = 1.29 # masse volumique de l'air (en kg.m-3 à 293K et 1013 hPa)

rhoH = 875.3 # masse volumique de l'huile (en kg.m-3 à 293K)

rg = 1e-6 # rayon de la gouttelette (en m)

q = 1.6e-19 # charge électrique portée par la gouttelette (1 e en Coulomb)

g = 9.81 # accélération de la pesanteur

Vg = (4 * pi * rg**3)/3 # volume de la gouttelette

m = Vg * rhoH # masse de la gouttelette

# saisie de la valeur du champ électrique (en V.m-1)

E = input('Valeur du champ électrique (V.m-1): ')

# calcul des coefficents de l'équation différentielle

K = (6 * pi * eta * rg)/ m

C = (g*Vg*(rhoH - rhoA))/m - (q*E)/m

# definition de l'équation différentielle

def Millikan(v,t):

return -K*v + C

# conditions initiales de l'expérience

t0 = 0.0

v0 = 0.0

# définition du vecteur temps de l'expérience

tmax = 0.001

pastemps = tmax/100

time = arange(t0, tmax, pastemps) # créé un vecteur de pastemps points entre t0 et tmax

# solution analytique

#vr = (C/K)*(1 - exp(-time*K))

# calcul de la vitesse de chute avec champ électrique

ve = odeint(Millikan,v0,time)

# calcul de la vitesse de chute sans champ électrique

C = (Vg*g*(rhoH - rhoA))/m

vs = odeint(Millikan,v0,time)

# trace des résultats

figure()

plot(time,vs,'b-',label='E = 0')

# plot(time,vr,'r-',label='E = 0')

plot (time,ve,'g-',label=' E<>0')

xlabel('temps (s)')

ylabel('vitesse (m.s-1)')

legend(loc='best')

show()

Le programme téléchargé peut présenter certaines différences, dues à nos petites experiences...

Utiliser le programme

Pour ma part, j'utilise l'environnement de développement IDLE avec Python 2.7. Vous pouvez télécharger ce programme sur le site officiel de Python. Il existe bien sur d'autres IDE, par exemple Anaconda que j'utilise également, à vous de choisir...

Dans IDLE, il suffit de faire File/New Window puis de copier le fichier code que vous aurez téléchargé. Sauvez-le sur votre disque (File/Save).
Pour exécuter le module, il suffit de sélection Run/Run Module dans le menu. Une fenêtre d'exécution s'ouvre, qui sert de console et une fenêtre graphique dans laquelle s'affiche la courbe.

Analyse et interprétation des résultats

Comparer la solution numérique et la solution analytique

Nous avons la chance de posséder une solution analytique à notre équation différentielle. Il serait donc dommage de ne pas comparer la courbe obtenue avec odeint (la solution numérique) et celle obtenue avec la solution analytique.
L'exécution du programme, dans lequel j'ai activé le calcul de la solution analytique et modifié les labels, donne ceci:

Simulation Millikan - comparaison ode analytique

Vous pouvez constater que la courbe bleue et la rouge sont très sensiblement identiques. Comme on pouvait s'en douter, sur un exemple aussi simple, odeint et la solution analytique collent parfaitement.

Vérifier l'existence de la vitesse limite

Penchons nous maintenant sur la forme de la courbe obtenue avec odeint. La courbe ci-dessous représente l'évolution de la vitesse d'une gouttelette en l'absence de champ électrique. Elle est en chute dans l'air. Seuls s'exercent sur elle son poids, la poussée d'Archimède et la force de trainée.
Le rayon de la gouttelette est d'un micron et la viscosité de l'air à 293 K est de 1.81e-5 Pas.s. S'il s'agissait d'une expérience réelle, il faudrait calculer le rayon moyen d'une gouttelette à partir de la mesure des vitesses limites d'un grand nombre de gouttelettes.

Simulation Millikan - vitesse limite

On observe sur cette courbe que la vitesse augmente rapidement pour tendre tout aussi rapidement vers une vitesse limite, caractérisée par la droite indiquant uen vitesse constante.
Le curseur disponible dans la fenetre d'affichage de Python nous indique, en positionnant le curseur sur la crosse de la courbe, que cette vitesse limite est atteinte au bout de 70 microsecondes environ, avec nos paramètres expérimentaux. par rapport à la durée de l'expérience, c'est tout à fait négligeable. Pratiquement, on peut considérer que la vitesse limite est atteinte immédiatemment, ce qui facilite les mesures de vitesse.
Vous pouvez aussi constater que cette vitesse limite est faible, de l'ordre de 10-4 m-1. Il ne sera donc pas facile de déterminer l'immobilité d'une gouttelette !

Influence du champ électrique

Ajoutons maintenant un champ électrique, orienté du haut vers le bas. La courbe tracée ci-dessous est le résultat d'un champ de 40 000 V.m-1. La gouttelette est supposée ne porter qu'une charge élémentaire q = e. Bien sur, vous pouvez modifier ces paramètres dans le code source. J'ai conservé en bleu la courbe de vitesse en absence de champ.

Simulation Millikan - vitesse limite

Vous notez que la vitesse limite diminue. Vous pouvez faire varier la valeur saisie de E afin de trouver expérimentalement pour quelle valeur de champ la vitesse limite s'annule. Le programme affiche la vitesse limite avec un champ nul et la vitesse limite pour la valeur du champ que vous avez saisi.
Pour vous aider, il affiche aussi la valeur du champ pour atteindre la vitesse limite nulle pour une gouttelette chargée à q=e, soit environ 220 kV.m-1, ce qui n'est pas rien ! Heureusement, en pratique, les gouttelettes portent beaucoup plus d'une charge...

Pour conclure

L'expérience de Millikan est un grand classique des TP de physique. Son principe est simple, sa modélisation aussi. Le résultat recherché, la valeur de e, est connu. Reste que réaliser l'expérience est compliqué ! La manipulation fait ressortir toutes les difficultées expérimentales que l'on peut rencontrer : rechercher les erreurs systématiques dans tous les paramètres, les erreurs aléatoires, exploiter les résultats grâce aux outils statistiques, etc. A ce sujet, la lecture attentive du document de Millikan cité plus haut est instructive. Il décrit assez précisément les difficultés qu'il a rencontré et la fin du document expose ses résultats de mesures et ses calculs. A exploiter !

Enfin viennent les questions "métaphysiques" : pourquoi la charge de l'électron est-elle de 1,6*10-19 C ? Réponse simple : on en sait rien. Le modèle standard, théorie physique la plus aboutie du moment ne nous dit rien sur le sujet. Il reste encore du boulot pour les physiciens en devenir....


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