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Introduction

Maxwell, Galilée et Lorentz. Deux mondes de la physique : la mécanique de Galilée, l'électromagnétisme de Maxwell. Et un pont entre les deux mondes : Lorentz. Dans sa "Théorie de l'électron", il se posa la question de l'existence d'une transformation mathématique qui laisserait invariantes les équations de Maxwell lors d'un changement de référentiel d'inertie, une pure question de mécanique...

Parce que les équations de Maxwell ont une particularité qui préoccupaient les physiciens du 19ième siècle. Elles impliquaient l'existence d'un référentiel absolu qu'ils n'arrivaient pas à mettre en évidence : le célèbre "éther". A défaut, il fallait imaginer que les équations de Maxwell n'étaient pas compatibles avec la relativité galiléenne, ce qui n'était pas rien !

Lorentz se posa la question et inventa une transformation qui répondait au problème. Malheureusement pour lui, il considèra cette transformation comme un artifice de calcul. Un autre alla plus loin, qui construisit une nouvelle mécanique sur la base de cette transformation et de deux postulats de génie : Einstein. Ainsi naquit la théorie de la relativité restreinte.

Dans cette page, j'ai voulu rappeler ce cheminement et la relation entre l'électromagnétisme et la mécanique. Ou comment retrouver la transformée de Lorentz avec seulement les deux postulats de la relativité restreinte.

La transformée de Galilée

C'est Galilée le premier qui dans son "Dialogue sur les deux grands systèmes du monde " en 1632 introduisit le principe d'inertie et la relativité galiléenne. Il définit ce qu'est un référentiel d'inertie, qu'on appelle d'ailleurs souvent "référentiel galiléen" et décrivit les lois de conservation lors du passage d'un référentiel d'inertie à un autre référentiel d'inertie. Plus tard, ces lois furent formalisées et devinrent la transformation de Galilée.

Soit deux référentiels inertiels R et R' qui sont en MRU (Mouvement Rectiligne Uniforme), R' étant en translation avec une vitesse V. La transformée de Galilée permet d'associer les coordonnées (x,y,z,t) d'un évènement calculées dans le référentiel R aux coordonnées du même évènement (x',y',z',t') dans le référentiel R'. Les origines des deux référentiels sont communes et nulles.

La transformée de Galilée s'exprime par :

\( \left\{ \begin{array}{lr} x'=x - Vt \\ y'=y \\ z'=z \\ t'= t \end{array} \right. \)

Quelques remarques :

  • t' = t : c'est la notion d'universalité du temps en mécanique newtonienne. Mais les coordonnées spatiales d'un évènement ne sont pas identiques dans les deux référentiels. L'espace galiléen est relatif.
  • la transformée de Galilée définit un groupe de transformation euclidien (un groupe de symétrie dans l'espace euclidien usuel).
  • le principe de relativité de Galilée impose que les lois de la physique soient invariantes par changement de référentiel d'inertie.

Les lois de la mécanique newtonienne et en particulier le second principe sont invariantes sous la transformée de Galilée. Il en résulte que les forces en mécanique newtonienne sont des invariants galiléens.

Les équations de Maxwell

L'énoncé des équations de Maxwell

Les équations de Maxwell furent établies en 1864. Nous les avons approché dans cette page de TangenteX. Voici l'expression moderne des équations de Maxwell, due à Heaviside, sous leur forme différentielle et dans un espace local en présence de charges électriques et de courants électriques :

\( div(\overrightarrow{E}) = \dfrac{\rho}{\epsilon_0} \), l'équation de Maxwell-Gauss

\( div(\overrightarrow{B}) = 0 \), l'équation de Maxwell-Thomson

\( \vec{rot}(\overrightarrow{E}) = -\dfrac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t} \), l'équation de Maxwell-Faraday

\( \vec{rot}(\overrightarrow{B}) = \mu_0 \epsilon_0 \dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t} + \mu_0 \overrightarrow{j} \), l'équation de Maxwell-Ampère

De ces équations, on tire l'équation de propagation d'un champ électromagnétique :

\( \Delta \: \overrightarrow{E} \: - \:\mu_0 \epsilon_0 \dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2} = \overrightarrow{0} \).

Le produit \(\mu_0 \epsilon_0 \) a la dimension de l'inverse du carré d'une vitesse et l'on pose \( c^2 = \dfrac{1}{\mu_0 \epsilon_0} \).

Les équations de Maxwell introduisent une vitesse limite pour les interactions électromagnétiques, notée c.

La force de Lorentz

Il existe deux champs électrique et magnétique \( \overrightarrow{E} \) et \( \overrightarrow{B} \), qui satisfont aux équations de Maxwell :

\( \vec{rot}(\overrightarrow{E}) = -\dfrac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t} \)

et

\( div(\overrightarrow{B}) = 0 \)

tels que :

\( \overrightarrow{F} = q \left( \overrightarrow{E} + \overrightarrow{v} \wedge \overrightarrow{B} \right) \)

La force \( \overrightarrow{F} \) s'appelle la force de Lorentz. Cette force se décompose en deux parties, comme vous le voyez dans l'équation :

  • une force électrique \( q \overrightarrow{E} \), qui ne dépend pas de la vitesse mais seulement de la charge et du champ électrique.
  • une force magnétique \( q \left( \overrightarrow{v} \wedge \overrightarrow{B} \right) \), orthogonale à la force électrique, qui dépend de la vitesse.

Les forces sont des invariants galiléens. Il en résulte, ainsi que de l'invariance de la charge électrique q, que l'expression du champ électrique \( \overrightarrow{E} \) n'est pas invariante au changement de référentiel. Deux observateurs dans R et R' ne voient pas la même valeur du champ électrique, et donc pas la même valeur à la force électrique, ce qui pose problème.

L'invariance galiléenne des équations de Maxwell

Toutes les équations de Maxwell ne sont pas invariantes sous la transformation de Galilée.

Les équations de Maxwell qui sont des invariants galiléens

Les équations de Maxwell suivantes sont stationnaires, elles ne dépendent pas de la vitesse du référentiel dans lequel elles sont exprimées :
\( \vec{rot}(\overrightarrow{E}) = -\dfrac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t} \)
et
\( div(\overrightarrow{B}) = 0 \)

Elle sont invariantes galiléennes. Les démonstrations ne sont pas difficiles mais très calculatoires : il faut calculer les opérateurs différentiels dans les deux référentiels puis identifier les expressions des équations dans les deux référentiels.

Les équations de Maxwell qui ne sont pas des invariants galiléens

Les deux autres équations de Maxwell ne sont pas invariantes galiléennes. Il s'agit des équations :

\( div(\overrightarrow{E}) = \dfrac{\rho}{\epsilon_0} \)

\( \vec{rot}(\overrightarrow{B}) = \mu_0 \epsilon_0 \dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t} + \mu_0 \overrightarrow{j} \)

Là aussi, les démonstrations ne sont pas difficiles mais très calculatoires (excellent exercice de khôlle).

Qu'est-ce qui pose problème ?

D'après les équations de Maxwell, la vitesse limite c de propagation des ondes électromagnétiques est la même dans tous les référentiels inertiels en MRU. Les équations de Maxwell disent aussi que la propagation des ondes électromagnétiques dans le vide est isotrope et ne dépend pas du mouvement de leur source.

Si l'on raisonne dans le cadre de la mécanique newtonienne, ces faits nous conduisent à définir un référentiel privilégié unique, le seul dans lequel la vitesse de propagation serait égale à c. Les physiciens du 19ième siècle appelèrent ce référentiel "l'éther".

Le problème, c'est que les physiciens ne purent jamais mettre en évidence cet "éther". L'une de plus célèbres expériences tentant de le mettre en évidence fut celle de Michelson et Morley. Comme vous le savez sans doute, elle délivra un résultat négatif, elle et toutes les expériences similaires qui furent menées jusqu'à ce jour.

Ce résultat négatif conduisit les physiciens, Einstein en particulier, à remettre en cause l'existence d'un référentiel absolu et la transformée de Galilée. Cette dernière fut remplacée par la transformée de Lorentz-Poincaré. Et la relativité restreinte amena des transformations profondes de la mécanique et de la physique en général.

Note : la généralisation de la relativité à tous les domaines de la physique a une conséquence anecdotique : on appelle souvent "c" la vitesse de la lumière. En fait, c a envahi tous les domaines de la physique ou presque, et il préférable d'étendre sa dénomination. On l'appelle maintenant la constante d'Einstein et elle est devenue une constante universelle.

La transformée de Lorentz-Poincaré

Lorentz se posa la question suivante : les équations de Maxwell sont-elles invariantes sous la transformée de Galilée ? Il s'aperçut vite que non et proposa avant Einstein, une transformée qui garantissait l'invariance des équations de Maxwell par changement de référentiel inertiel. Voici l'expression de la transformée de Lorentz-Poincaré, en suivant la même forme que la transformée de Galilée :

\( \left\{ \begin{array}{lr} x'=\gamma(v)(x - vt) \\ y'=y \\ z'=z \\ t'=\gamma(v)(t - \dfrac{vx}{c^2}) \end{array} \right. \)
avec :
\( \gamma(v) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \left(\dfrac{v}{c}\right)^2}} \)

Comme pour la transformée de Galilée, les origines des deux référentiels sont communes et nulles.

Remarquons que si c tend vers l'infini dans l'expression de \( \gamma \), alors \( \gamma \) tend vers 1, et l'on retrouve la transformée de Galilée.

Note : on appelle cette transformation transformation de Lorentz-Poincaré, parce que c'est Henri Poincaré qui construisit le groupe de symétrie d'espace-temps sous lequel les équations de Maxwell sont invariantes.

L'invariance lorentzienne des équations de Maxwell

Les mêmes types calculs un peu long et rébarbatifs (mais il faut s'entrainer à les faire) qui nous ont permis d'établir l'invariance ou non des équations de Maxwell sous la transformée de Galilée nous permettront de vérifier que les équations de Maxwell sont invariantes sous la transformée de Lorentz-Poincaré. Je vous propose de faire l'exercice sur l'équation de propagation, les calculs sur le d'Alembertien sont moins longs...

Ce qui nous amène à une conclusion pour le moins curieuse : l'électromagnétisme est relativiste (au sens relativité restreinte d'Einstein) par construction ! Etonnant quand on sait comment Maxwell les a établit...

Les postulats de la relativité restreinte

J'ai abordé la génèse de la relativité restreinte et les deux postulats sur laquelle elle est fondée dans une autre page de TangenteX. Je les rappelle ici.

Le premier postulat

Il affirme que les lois de la physique s'expriment de la même manière dans tous les référentiels d'inertie. Autrement dit, que tous les référentiels d'inertie sont équivalents pour l'application des lois de la physique. Il s'agit bien ici de toute les lois physiques, qui ne sont pas limitées à celles de la mécanique. Elles englobent en particulier les lois de l'électromagnétisme, et donc les équations de Maxwell.

Le deuxième postulat

La vitesse de la lumière dans le vide est un invariant par changement de référentiel d'inertie.

On en déduit qu'il existe une valeur limite à la vitesse de propagation d'une interaction, alors que la mécanique classique postule implicitement qu'une interaction se propageait à vitesse infinie.

Retrouver la transformée de Lorentz

 Nous allons vérifier que l'utilisation des deux postulats de la relativité restreinte permettent à eux seuls de retrouver l'expression de la transformée de Lorentz.

Considérons un évènement (x,y,z,t) dans un référentiel d'inertie R d'origine O et un évènement (x',y',z',t') dans un référentiel d'inertie R' d'origine O'. Synchronisons nos deux référentiels de telle sorte que les évènements (0,0,0,0) et (0',0',0',0') coïncident. Etudions ces deux évènements lorsque le référentiel R' se déplace en translation uniforme de vitesse V sur un axe Ox, sachant que l'espace étant isotrope, l'étude sera la même sur les autres axes de l'espace.

Par analogie avec la transformée de Galilée, nous cherchons une transformation dont l'expression serait :

\( \left\{ \begin{array}{lr} x'= ax + bt \\ y'=y \\ z'=z \\ t'= ux+vt \end{array} \right. \)

où a,b,u et v sont quatre constantes dont on cherche l'expression.

Des hypothèses ci-dessus, nous pouvons déjà déduire une relation entre a et b :

  • la coïncidence des origines O et O' à t=t' = 0 implique que x'(O') = 0 et que x(O') = -b/a t, d'après la définition de notre transformée.
  • les deux référentiels sont en translation uniforme et par ailleurs O' = O à t=t'=0, donc x(O') = Vt

Ce qui nous permet d'écrire que b = -Va

Examinons ce que devient notre équation de propagation du champ électrique dans le vide en absence de charges électriques lors du changement de référentiel de R vers R', en appliquant les deux postulats de la relativité restreinte.

Pour simplifier l'écriture, je vais utiliser l'opérateur d'Alembertien, dont je rappelle qu'il s'exprime par :

\( \displaystyle \Box = \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2}{\partial z^2} - \dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial^2}{\partial t^2}\)

et donc, l'équation de propagation du champ électrique s'écrit donc simplement :

\(\Box \overrightarrow{E} = \overrightarrow{0} \)

Le premier postulat impose que les lois de la physique, et donc de l'électromagnétisme, s'expriment de la même manière dans tous les référentiels d'inertie.

Le deuxième postulat impose que c soit invariante par changement de référentiel d'inertie.

Pour exploiter le premier postulat, exprimons le d'Alembertien \(\Box \) dans le référentiel R'. C'est assez calculatoire, car il faut exprimer les opérateurs de dérivées partielles en fonction de (x',y',z',t'). Je vous fais grâce des calculs et vous donne le résultat. J'ai :

\( \displaystyle \Box = \left(a^2 - \dfrac{b^2}{c^2}\right)\dfrac{\partial^2}{\partial x'^2} + \dfrac{\partial^2}{\partial y'^2} + \dfrac{\partial^2}{\partial z'^2} - \left( -u^2 + \dfrac{v^2}{c^2} \right) \dfrac{\partial^2}{\partial t'^2} + 2\left(au - \dfrac{bv}{c^2} \right)\dfrac{\partial^2}{\partial x' \partial t'} \)

J'ai d'autre part :

\( \displaystyle \Box' = \dfrac{\partial^2}{\partial x'^2} + \dfrac{\partial^2}{\partial y'^2} + \dfrac{\partial^2}{\partial z'^2} - \dfrac{1}{c'^2} \dfrac{\partial^2}{\partial t'^2}\)

et les deux postulats me permettent d'écrire :

  • \(\Box = \Box' \), car l'expression de l'équation de propagation est la même dans tous les référentiels d'inertie (1er postulat),
  • c = c', car la vitesse de la lumière est un invariant (second postulat).

Il me suffit donc d'identifier les deux expressions des d'Alembertiens, ce qui me donne le système linéaire :

\( \left\{ \begin{array}{lr} a - \dfrac{b^2}{c^2} = 1 \\ -u^2 + \dfrac{v^2}{c^2} = \dfrac{1}{c^2} \\ au - \dfrac{bv}{c^2} = 0 \end{array} \right. \)

Si je pose \( \displaystyle \gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \left(\dfrac{V}{c}\right)^2}} \) , j'obtiens avec la relation établie précédement entre a et b :

a = v = \( \gamma \), b = - \( \gamma \) V et u = \( -\dfrac{\gamma V}{c^2} \)

d'où finalement, en reportant dans l'expression générale de la transformée :

\( \left\{ \begin{array}{lr} x'= \gamma \left(x - Vt \right) \\ y'=y \\ z'=z \\ t'= \gamma \left(t - -\dfrac{Vx}{c^2}\right) \end{array} \right. \)

Nous retrouvons bien la transformée de Lorentz.

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