Les développements limités

Vous avez déjà utilisé l'approximation dite "des petits angles" pour linéariser une équation contenant des sinus ou des cosinus, ou bien encore pour simplifier vos calculs, posé \( (1 + x)^n \approx 1 + nx \) sous certaines conditions sur x.

Saviez-vous que ce faisant, vous utilisiez une technique mathématique particulière : le développement limité d'une fonction autour d'un point \( x_0 \) ? Le principe de base du développement limité d'une fonction est simple : il stipule qu'au voisinage d'un point \( x_0 \), sous certaines conditions sur la fonction f(x), on peut écrire cette dernière comme une somme de termes de la forme \( a_n (x - x_0)^n \) et d'un reste infinitésimal.

Or tout le monde sait que manier un polynôme est plus simple que n'importe quelle fonction tordue ! Et cette histoire de "reste" laisse deviner qu'il est possible de choisir son degré d'approximation, ce qui est intéressant pour un physicien. Un exemple ? Pour linéariser l'équation différentielle du pendule, vous choisissez un angle \( \theta \) "petit" en radian et vous approximez \( \sin(\theta) \approx \theta \). Bon, il reste à déterminer dans quelle proportion de "petit" ceci est valable ! La connaissance des développements limités va vous y aider.

Je ne vais pas faire ici un cours d'analyse sur les DL (j'emploierai cet acronyme, que vous trouverez partout), mais seulement vous introduire les quelques théorèmes de définition puis des exemples concrets. Enfin, je vous montrerai comment calculer simplement vos DL avec Python.

Les notions de base

La théorie mathématique des DL est très simple : elle est basé sur quelques théorèmes que je vais présenter ci-dessous sans les démontrer. Vous les trouverez dans le cours d'analyse de math sup, mais ils ne sont pas inabordables par des élèves de TS. Leur démonstration est essentiellement basée sur le théorème des accroissements finis, en principe connu en TS.

Tous les théorèmes cités ci-dessous sont construits à partir de la formule de Taylor, qui s'exprime comme suit avec un reste intégral :

\( f(b) = \Sigma_{k=0}^n \dfrac{(b-a)^k}{k!} f^{(k)}(a) +  \int_{a}^{b} \dfrac{(b-x)^n}{n!} f^{(n+1)} (x) dx \)

Le théorème de Taylor Young

Considérons une fonction f de classe Cn sur un intervalle I de R, n un entier naturel, et un point a appartenant à I. Le théorème de Taylor-Young stipule que la fonction f admet un DL d'ordre n autour du point a, ce que l'on peut écrire, quel que soit x :

\( f(x) = \Sigma_{k=0}^n  \dfrac{(x - a)^k}{k!} f^{(k)} + o((x - a)^n \)

ou encore, à l'ordre n :

\( f(x) = f(a) +  \dfrac{ (x - a)}{1!} f^{'} + .... +  \dfrac{(x - a)^n}{n!} f^{(n)} + o((x - a)^n) \)

Ce théorème se démontre avec le théorème de Taylor avec reste intégral.

Le terme \( o((x - a)^n \) s'appelle le reste de Young. Le principe est de le rendre aussi négligeable qu'on le souhaite, en augmentant la valeur de n.

Le théorème de Taylor Mac-Laurin

Le théorème de Taylor Mac-Laurin se déduit directement du théorème de Taylor Young, sous les mêmes conditions, en posant a = 0, ce qui nous donne :

\( f(x) = f(0) \: + \: \dfrac{ x}{1!} f^{'}(0) \:+\: .... \:+\:  \dfrac{x^n}{n!} f^{(n)}(0)\:  + \:o(x^n) \).

Ce théorème décrit le DL de la fonction x au voisinage de 0. Dans la pratique, la plupart des DL que vous utiliserez seront au voisinage de 0, et donc, je vous conseille vivement de retenir la formule de Taylor Mac-Laurin.

Développement limité d'une fonction à une variable

Définition

La définition d'un DL découle directement du théorème de Taylor Lagrange. Sous les conditions mentionnées ci-dessus, on appelle "développement limité" d'une fonction f(x) au voisinage du point x0 la série :

\( f(x) = a_0 \: +\: a_1(x -x_0) \:+\: ... \:+\: a_n(x - x_0)^n \:+\: (x - x_0)^n \epsilon (x) \) avec \( \lim_{x\to 0} \epsilon (x) = 0 \).

Le polynôme en (x - x0) est appelé la partie régulière du DL alors que le terme \( (x - x_0)^n \epsilon (x) \) est appelé le reste du DL. Souvent, comme je l'ai fait ci-dessus, on ultilise la notation de Landau pour écrire le reste : \( o((x - a)^n) \).

Toutes les fonctions n'admettent pas de développement limité, ou bien pas en tous points de l'intervalle de définition de la fonction. Mais si une fonction admet un DL, il est unique.

Les théorèmes de Taylor Young, Taylor Lagrange ou Taylor Mac-Laurin permettent de déterminer la valeur des coefficients ak, qui dépendent de la valeur de la dérivèe d'ordre k au point (x - x0).

Opérations simples sur les DL

Soient f et g deux fonctions qui remplissent les conditions de Taylor décrites ci-dessus. Appelons F et G la partie régulière du développement limité d'ordre n au voisinage de x0, noté DLn(x0), de respectivement la fonction f et la fonction g.

Quelques DL très utiles

Je mentionne ici les principaux DLn(0). Vous trouverez sur le net tous les DL dont vous pourriez avoir besoin, à moins que vous ne les calculiez avec Python, comme je vous l'indiquerai plus loin.

Puissances et exponentielles

Voici quelques DLn(0) très classiques de fonctions puissances et exponentielles :

\( \left( 1 + x \right)^m = 1 + \dfrac{n}{1!} x  + \dfrac{m(m-1)}{2!} x^2 + ... + \dfrac{m(m-1)...(m-p+1)}{p!} x^p + o(x^p) \)

On tire de ce DL(0), les DL(0) d'usage très utile :

\( \dfrac{1}{1 + x} = 1 - x + x^2 + ... + (-1)^n x^n + o(x^n) \)

\( \dfrac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + ... + x^n + o(x^n) \)

Pour l'exponentielle et sa fonction inverse :

\( e^x = 1 + \dfrac{x}{1!}  + \dfrac{x^2}{2!} + ... + \dfrac{x^n}{n!} + o( x^n)  \)

\( ln\left( 1 + x \right)^n = x - \dfrac{x^2}{2}  + \dfrac{x^3}{3}  + ... + (-1)^{n-1} \dfrac{x^n}{n} + o(x^n) \)

Remarque : la fonction ln n'admet pas de DL au voisinage de 0.

Fonctions trigo

x étant exprimé en radian, voici quelques  DLn(0) de fonctions trigonométriques, dans lesquels vous trouverez la justification de l'approximation des petits angles pour les sinus et cosinus :

\( sin(x) = \dfrac{x}{1!} - \dfrac{x^3}{3!} + ... + (-1)^p \dfrac{x^{2p+1}}{(2p+1)!} + o( x^{2p+2}) \)

Remarque : L'approximation des petits angles pour le sinus consiste donc à négliger les termes en x3/6 et supérieurs, ce qui permet de majorer l'erreur que l'on commet.

\( cos(x) = \dfrac{x}{1!} - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} +  ... + (-1)^p \dfrac{x^{2p}}{(2p)!} + o( x^{2p+1}) \)

Remarque : on peut obtenir la partie régulière du DL de cos(x) en dérivant la partie régulière du DL de sin(x).

\( tan(x) = x + \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{2x^5}{15} +  \dfrac{17x^7}{315} + o( x^7) \)

Remarque : on peut obtenir la partie régulière du DL de tan(x) en faisant le quotient des parties régulières des DL de sin(x) et cos(x).

Les DL avec Python

Dans une page précédente, nous avons fait connaissance avec le module de calcul symbolique Sympy de Python. Parmi les fonctions que je n'ai pas cité dans cette page, il se trouve une fonction, la fonction series() qui permet de calculer le DL d'une fonction, à n'importe quel ordre et au voisinage d'un point quelconque de son domaine de définition.

J'ai écris un petit script DevLim.py pour illustrer la manière de procéder. Il convient d'abord d'importer le package SymPy:

from sympy import *

puis j'ai défini une fonction DevLimite qui encapsule la fonction series(). Les arguments sont décrits dans le code :
def DevLimite(fonc,variable,x0,ordre):
    """ Fonction de calcul du développement limité
        fonc     : fonction dont on cherche le DL
        variable : nom de la variable
        x0       : point au voisinage duquel on calcule le DL
        ordre    : ordre du DL
    """
    return (series(fonc,variable,x0,ordre+1))

Il nous reste à définir les différentes variables et constantes nécessaires :   
# définition des variables
x = symbols('x')
# paramètres du DL
fonction = 'sin(x)'  # fonction à développer
x0 = 0               # DL au voisinage de 0
ordre = 4            # DL d'ordre 3 - ATTENTION : il faut préciser un ordre de plus que l'ordre voulu.

et de procéder au calcul et à l'affichage du résultat
DL=DevLimite(fonction,x,x0,ordre)
print(DL)

Le DL s'affiche dans la fenêtre console de Spyder ou de l'IDLE que vous utilisez. Simple non ?


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