Dérivées et primitives usuelles

Table des dérivées

Table des primitives

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Table des dérivées usuelles

Dans les tableaux ci-dessous, je suppose que les fonctions sont continues sur le domaine de validité et qu'elles admettent une dérivée.

Fonctions usuelles

Fonction	Dérivée	Domaine de validité	Remarque
\( x^n \)	\( nx^{n-1} \)	\( \mathbb{R} \)	\( n \in \mathbb{Z} \)
\( \dfrac{1}{x}\)	\( \dfrac{- 1}{x^2}\)	\( \mathbb{R}^* \)
\( \sqrt{x} \)	\( \dfrac{1}{2 \sqrt{x}} \)	\( [0; +\infty[\)
\( \ln(|x|)\)	\( \dfrac{1}{x}  \)	\( ]0; +\infty[\)
\( \sin(x)\)	\( \cos(x) \)	\( \mathbb{R} \)
\( \cos(x) \)	\( -\sin(x) \)	\( \mathbb{R} \)
\(  \exp(mx) \)	\( m\exp(mx) \)	\( \mathbb{R} \)	\( m \in \mathbb{R} \)

Fonctions composées

Les fonctions u et v sont dérivables sur le même intervalle de définition.

Fonction	Dérivée	Domaine de validité	Remarque
\( uv \)	\(u'v + uv' \)	\( \mathbb{R} \)
\( \dfrac{1}{u}\)	\( \dfrac{- u'}{u^2}\)	\(  u \in ]-\infty;0[\) ou \( ]0; +\infty[\)
\( \dfrac{u}{v}\)	\( \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\)	\(  v \in ]-\infty;0[\) ou \( ]0; +\infty[\)
\( u^n \)	\( nu^{n-1}u'\)	\( \mathbb{R} \)	\( n \in \mathbb{Z} \)
\( \sqrt{u}\)	\( \dfrac{1}{2} \dfrac{u'}{\sqrt{u}}\)	\( u \in  [0; +\infty[\)
\( \ln(u)\)	\( \dfrac{u'}{u}\)	\( u \in  ]0; +\infty[\)
\( \exp(u)\)	\( u'\exp(u)\)	\( \mathbb{R} \)
\( f(u)\)	\( f'(u)u'\)	\( \mathbb{R} \)

Table des primitives usuelles

Dans les tableaux ci-dessous, je suppose que les fonctions sont continues sur le domaine de validité et qu'elles admettent une primitive.

Fonctions usuelles

Fonction	Primitive	Domaine de validité	Remarque
\(k \)	\(kx + C \)	\( \mathbb{R} \)	\( k \in \mathbb{R} \)
\( x\)	\( \dfrac{1}{2} x^2 + C\)	\( \mathbb{R} \)
\( x^n \)	\( \dfrac{1}{n+1}x^{n+1} + C\)	\( \mathbb{R} \)	\( n \in \mathbb{N} \)
\( \dfrac{1}{x}\)	\( \ln(x) + C \) \( \ln(-x) + C \)	\( ]0; +\infty[\) \( ]-\infty;0[\)
\( \dfrac{1}{x^n}\)	\( -\dfrac{1}{n-1} \dfrac{1}{x^{n-1}}+ C\)	\( ]-\infty;0[\) ou \( ]0; +\infty[\)	\( n \in \mathbb{N}, n \ge 2 \)
\( \dfrac{1}{\sqrt{x}}\)	\( 2\sqrt(x) + C\)	\( ]0; +\infty[\)
\( e^x \)	\( e^x + C\)	\( \mathbb{R} \)
\( \exp(mx) \)	\( \dfrac{\exp(mx)}{m} + C\)	\( \mathbb{R} \)	\( m \in \mathbb{R} \)
\( \cos x \)	\( \sin x + C\)	\( \mathbb{R} \)
\( \sin x \)	\( -\cos x + C\)	\( \mathbb{R} \)
\( \sin(\omega x + \phi) \)	\( -\dfrac{1}{\omega}\cos(\omega x + \phi) + C\)	\( \mathbb{R} \)
\( \cos(\omega x + \phi) \)	\( \dfrac{1}{\omega}\sin(\omega x + \phi) + C\)	\( \mathbb{R} \)
\( \ln x \)	\( x \ln x - x + C\)	\( ]0; +\infty[\)

Fonctions composées

Fonction	Primitive	Domaine de validité	Remarque
\(u'u^n \)	\( \dfrac{1}{n+1}u^{n+1} + C\)		\( n \in \mathbb{N} \)
\( \dfrac{u'}{u^2}\)	\( -\dfrac{1}{n-1} \dfrac{1}{u^{n-1}}+ C\)		\( n \in \mathbb{N}, n \ge 2 \)
\( \dfrac{u'}{u}\)	\( ln(u) + C \) \( ln(-u) + C \)		si u > 0 sur l'intervalle de définition si u < 0 sur l'intervalle de définition
\( \dfrac{u'}{\sqrt{u}}\)	\( 2\sqrt{u} + C\)		u > 0
\( u'e^u \)	\( e^u + C\)