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Tables des principales dérivées et primitives


Table des dérivées

Dans les tableaux ci-dessous, je suppose que les fonctions sont continues sur le domaine de validité et qu'elles admettent une dérivée.

Fonctions usuelles

Fonction Dérivée Domaine de validité Remarque
\( x^n \) \( nx^{n-1} \) \( \mathbb{R} \) \( n \in \mathbb{Z} \)
\( \frac{1}{x}\) \( \frac{- 1}{x^2}\) \( \mathbb{R}^* \)
\( \sqrt(x) \) \( \frac{1}{2 \sqrt(x)} \) \( [0; +\infty[\)
\( \ln(|x|)\) \( \frac{1}{x}  \) \( ]0; +\infty[\)
\( \sin(x)\) \( \cos(x) \) \( \mathbb{R} \)
\( \cos(x) \) \( -\sin(x) \) \( \mathbb{R} \)
\(  \exp(mx) \) \( m\exp(mx) \) \( \mathbb{R} \) \( m \in \mathbb{R} \)

Fonctions composées

Les fonctions u et v sont dérivables sur le même intervalle de définition.

Fonction Dérivée Domaine de validité Remarque
\( uv \) \(u'v + uv' \) \( \mathbb{R} \)
\( \frac{1}{u}\) \( \frac{- u'}{u^2}\) \(  u \in ]-\infty;0[\) ou \( ]0; +\infty[\)
\( \frac{u}{v}\) \( \frac{u'v - uv'}{v^2}\) \(  v \in ]-\infty;0[\) ou \( ]0; +\infty[\)
\( u^n \) \( nu^{n-1}u'\) \( \mathbb{R} \) \( n \in \mathbb{Z} \)
\( \sqrt(u)\) \( \frac{1}{2} \frac{u'}{\sqrt(u)}\) \( u \in  [0; +\infty[\)
\( \ln(u)\) \( \frac{u'}{u}\) \( u \in  ]0; +\infty[\)
\( \exp(u)\) \( u'\exp(u)\) \( \mathbb{R} \)
\( f(u)\) \( f'(u)u'\) \( \mathbb{R} \)

Table des primitives

Dans les tableaux ci-dessous, je suppose que les fonctions sont continues sur le domaine de validité et qu'elles admettent une primitive.

Fonctions usuelles

Fonction Primitive Domaine de validité Remarque
\(k \) \(kx + C \) \( \mathbb{R} \) \( k \in \mathbb{R} \)
\( x\) \( \frac{1}{2} x^2 + C\) \( \mathbb{R} \)
\( x^n \) \( \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C\) \( \mathbb{R} \) \( n \in \mathbb{N} \)
\( \frac{1}{x}\) \( \ln(x) + C \)
\( \ln(-x) + C \)
\( ]0; +\infty[\)
\( ]-\infty;0[\)
 
\( \frac{1}{x^n}\) \( -\frac{1}{n-1} \frac{1}{x^{n-1}}+ C\) \( ]-\infty;0[\) ou \( ]0; +\infty[\) \( n \in \mathbb{N}, n \ge 2 \)
\( \frac{1}{\sqrt(x)}\) \( 2\sqrt(x) + C\) \( ]0; +\infty[\)
\( e^x \) \( e^x + C\) \( \mathbb{R} \)
\( \exp(mx) \) \( \frac{\exp(mx)}{m} + C\) \( \mathbb{R} \) \( m \in \mathbb{R} \)
\( \cos x \) \( \sin x + C\) \( \mathbb{R} \)
\( \sin x \) \( -\cos x + C\) \( \mathbb{R} \)
\( \sin(\omega x + \phi) \) \( -\frac{1}{\omega}\cos(\omega x + \phi) + C\) \( \mathbb{R} \)
\( \cos(\omega x + \phi) \) \( \frac{1}{\omega}\sin(\omega x + \phi) + C\) \( \mathbb{R} \)
\( \ln x \) \( x \ln x - x + C\) \( ]0; +\infty[\)

Fonctions composées

Fonction Primitive Domaine de validité Remarque
\(u'u^n \) \( \frac{1}{n+1}u^{n+1} + C\)   \( n \in \mathbb{N} \)
\( \frac{u'}{u^2}\) \( -\frac{1}{n-1} \frac{1}{u^{n-1}}+ C\)   \( n \in \mathbb{N}, n \ge 2 \)
\( \frac{u'}{u}\) \( ln(u) + C \)
\( ln(-u) + C \)
  si u > 0 sur l'intervalle de définition
si u < 0 sur l'intervalle de définition
\( \frac{u'}{\sqrt(u)}\) \( 2\sqrt(u) + C\)   u > 0
\( u'e^u \) \( e^u + C\)  

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