Modéliser le crissement d'une craie

L'expérience

Voilà une expérience que les moins de vingt ans ne peuvent pas connaitre ou alors très peu... Dans un temps lointain, les salles de classe et les amphis étaient ornés d'un tableau dit "noir" mais le plus souvent vert, sur lequel nous écrivions avec une craie. Et souvent, trop souvent, un crissement horrible nous vrillait les oreilles et faisait réagir immédiatement le prof ou le malheureux élève responsable. Généralement, les susdits cassaient la craie ou bien appuyaient moins fort dessus, et le crissement disparaissait...

Bien sur, il est assez difficile de revivre cette terrible expérience sur un tableau blanc (le tristement célébre et honni TBI) avec un feutre effacable (de préférence...), encore que !

Examinons les faits de plus près. Pour écrire sur le tableau, j'utilise une craie. C'est un cylindre d'une dizaine de centimètres de haut et d'environ un centimètre de diamètre. Aujourd'hui, les craies sont constituées d'un mélange comprimé de plâtre avec ou sans colorant. Ma craie possède une certaine élasticité, assez faible. De plus, comme tout cylindre solide, ma craie est susceptible de vibrer, et possède une fréquence propre de vibration qui dépend de sa géométrie et de son élasticité.

Ecrire avec une craie sur le tableau consiste à déposer une quantité de plâtre sous forme de trait sur le tableau. Le transfert de matière s'opère par abrasion due au frottement de la craie sur le tableau.

Un objet solide qui frotte sur un autre objet solide et susceptible de vibrer, voilà qui nous rappelle certainement la page sur le modèle de la corde du violon. Voyons si nous pouvons nous inspirer de ce modèle pour expliquer ce sinistre crissement.

Sa modélisation

En m'inspirant du modèle de la corde de violon décrit dans la page sus-mentionnée, je vous propose le modèle suivant :

ce qui est représenté sur le schéma suivant :

Modele craie

Vous vous en souvenez peut-être, le frottement solide est du aux micro-aspérités qui recouvrent toutes les surfaces. Ces micro-aspérités s'opposent au déplacement relatif de deux surfaces, d'autant plus fortement que les surfaces sont immobiles l'une par rapport à l'autre. S'il y a mouvement, on imagine que certaines aspérités sont détruites et que le frottement est moindre. Il existe donc deux coefficients de frottement solide : l'un dit "statique" pour les deux surfaces immobiles l'une par rapport à l'autre et l'autre dit "dynamique" lorsqu'il y a mouvement relatif entre les deux surfaces.

Analyse du modèle et résultats

Les différentes phases du mouvement

Comme pour l'analyse du mouvement de l'archer sur la corde de violon, je vais décomposer ce mouvement en plusieurs phases. Toutefois, je vais simplifier la décomposition en deux phases. Ces deux phases forment un cycle qui se répète durant tout le mouvement de la craie sur le tableau.

La phase 1 : la craie est immobile

Dans la phase 1, la main se déplace à une vitesse v constante, mais la craie reste immobile, suite au frottement statique qui s'exerce entre la craie et la surface du tableau et à son élasticité qui lui permet de se déformer un peu. La force de frottement statique \( \vec{F_s} \) s'oppose à la force de traction \( \vec{T} \). Tant que \( \vec{T} \) est inférieure à \( \vec{F_s} \), la craie reste immobile.

Cependant :

Vient donc le moment où \( \vec{T} \) devient plus grande que \( \vec{F_s} \) : la craie bouge et entre dans la phase 2 du cycle !

La phase 2 : la craie est en mouvement

En mouvement, le coefficient de frottement n'est plus \( \mu_s \) mais le coefficient de frottement dynamique, noté \( \mu_d \). Très généralement, \( \mu_d \) est inférieur à \( \mu_s \), ce qui est assez intuitif.

La force de frottement devient \( \vec{F_d} = \mu_d \vec{F_a} \) et est inférieure à \( \vec{T} \) car \( \mu_d \) est inférieur à \( \mu_s \) et \( \vec{F_a} \) constante.

La craie étant en mouvement, l'allongement du ressort diminue et donc la force de traction \( \vec{T} \) diminue. Lorsque \( \vec{T} \) devient plus petite que \( \vec{F_d} \), alors le mouvement de la craie s'arrête et le cycle recommence !

La fréquence de vibration de la craie

Appelons \(t_1\) et \(t_2\) les durées respectives des phases 1 et 2. Je vais supposer pour simplifier le calcul que la période du cycle est approximativement égale à \(t_1\), c'est à dire que \(t_2\) est négligeable devant \(t_1\). Pour ceux qui voudraient le vérifier, ils peuvent utiliser le modèle de calcul de la corde de violon...

Essayons maintenant d'estimer la fréquence de vibration de la craie en applicant notre modèle. Pour cela, considérons un début de cycle. De l'étude du mouvement de la craie lors des deux phases, nous savons que le début de la phase 1 du cycle courant correspond à la fin de la phase 2 du cycle précédent. A ce moment, nous savons que \( \vec{T} = \vec{F_d} \) soit en développant \( k \delta x = \mu_d \vec{F_a} \) pour \( t_0 = 0 \).

A la fin de la phase 1, à l'instant \(t_1\), à la fin du cycle, avant que la craie n'entre en mouvement, nous avons l'égalité \( k \delta x = \mu_s \vec{F_a} \), avec le coefficient de frottement statique, car pendant la phase 1, la craie est immobile.

Nous avons posé comme approximation que la période du cycle P était égale à la période \(t_1\). Nous pouvons maintenant calculer en remarquant que \( \delta x \) à l'instant \( t_0 + vP \) est égal à \( \delta x \) à l'instant \( t_0 \), soit \( k \mu_d \vec{F_a} + vP  =  k \mu_s \vec{F_a} \). Le calcul simple nous donne finalement la valeur estimée \( P = \dfrac{F_a (\mu_s - \mu_d)}{kv} \).

On obtient ainsi la période de vibration de la craie est qui transmise à l'air. Il suffit que la fréquence de la vibration approche la fréquence propre de la craie, et nous obtenons ce crissement horrible.

Reste l'application numérique, qui nécessite plusieurs données :

L'application numérique nous donne une période comprise entre 10-4 s et 5.10-5 s, soit une fréquence comprise entre 10 kHz et 20 kHz, soit dans le spectre haut de l'audition humaine... Un son aigu vous disais-je ! Une estimation plus fine demanderait une meilleurs connaissance de k. Dans la littérature, on trouve une valeur de 8.103 N.m-1, ce qui donne une fréquence de 16 kHz. On reste dans le haut des aigus !

Comment faire cesser le calvaire ?

Si je reprends mon formule littérale \( P = \dfrac{F_a (\mu_s - \mu_d)}{kv} \), je constate que pour modifier la période de la vibration de la craie et donc sa fréquence, il faut :

Il semble peu vraisemblable de modifier sa vitesse d'écriture, de même que les coefficients de frottement statique et dynamique, sauf à changer de matériau.

Si vous avez d'autres idées pour pallier à ce défaut, je suis preneur ! Par exemple, il suffit de mouiller un peu la craie. Cela modifier les coefficients de frottement...


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