Détecter une onde - Le circuit d'accord RLC

La détection des ondes électromagnétiques

Le programme 2011 de physique de TS introduit, dans les compétences exigibles concernant les ondes, la compétence "Extraire et exploiter des informations sur : - des sources d’ondes et de particules et leurs utilisations ; - un dispositif de détection.".
Ce point m'a interpellé. Quels dispositifs de détection des ondes, je vais me limiter ici aux ondes électromagnétiques, les élèves de TS peuvent-ils bien connaitre ? Tout dépend de la longueur d'onde ! Pour les ondes micrométriques, cela semble évident (encore que !) : l'oeil est un détecteur des ondes électromagnétiques dans le domaine du visible. Mais il n'est pas du tout évident qu'un élève normalement constitué sache comment l'oeil peut bien détecter une onde électromagnétique, en supposant que l'élève ait fait la relation entre lumière et onde électromagnétique (c'est sans doute un peu pessimiste).
Qu'en est-il de la détection des ondes du domaine radio, si important dans notre vie quotidienne ? Dans le programme précédent, l'étude des dipôles RC, LC et RLC donnait l'occasion d'aborder le sujet. Mais le sujet a disparu du programme de 2011. J'ai donc eu envie d'aborder un type très usité de détecteur d'onde électromagnétique : le circuit RLC. "RLC" parce que ce circuit est constitué d'une résistance, d'un condensateur et d'une bobine.
Le circuit RLC est un oscillateur, nous aborderons donc son comportement en oscillations libres, puis forcées. En enfin, nous verrons que ce circuit peut être utilisé pour détecter une onde électromagnétique d'une fréquence donnée.
Cela nous donnera aussi l'occasion de remarquer que les oscillateurs électriques ont les mêmes comportements que les oscillateurs mécaniques abordés en cours.

Le circuit RLC

Son principe

Physiquement, il s'agit d'un circuit comportant un condensateur, une résistance et une bobine montés en série, de sorte à former un circuit fermé. La résistance apparait de manière "parasite", provenant du fait qu'une bobine de résistance nulle est plutôt rare dans la vie courante (mais cela est possible si elle est supra-conductrice...). Notre circuit RLC ressemble donc à ça :

CircuitRLC-Schéma

J'ai déjà abordé l'étude de ce circuit dans une page consacrée à Scilab. Vous pouvez aller la consulter, vous y trouverez un peu plus de détails qu'ici sur les différents régimes du circuit RLC.

Sa physique

Imaginons qu'à un instant t0 considéré comme l'instant initial de notre expérience, le condensateur soit chargé électriquement au maximum de sa capacité. Comme vous le savez, cela représente une certaine énergie potentielle, qui vaut \( E = \dfrac{1}{2}Cu^2 \), u étant sa tension de charge.
Notre condensateur va s'empresser de se vider de ses charges électriques dans la bobine en créant ainsi un courant, auquel la bobine va d'abord s'opposer mais qu'elle laissera finalement passer.
Ce courant va créer un champ magnétique dans la bobine et accumuler l'énergie transférée par le condensateur dans la bobine, jusqu'à épuisement du condensateur. L'énergie emmagasinée dans la bobine vaut \( E = \dfrac{1}{2}Li^2 \) , i étant le courant circulant dans le circuit.

Evidemment, les choses ne vont pas en rester là ! La bobine va à son tour céder son énergie au condensateur et le phénomène va recommencer. Nous avons affaire à un transvasement périodique d'énergie entre deux réservoirs, un oscillateur ! Et cela durerait éternellement s'il n'y avait pas cette maudite résistance, qui dissipe un peu d'énergie à chaque oscillation par effet Joule. La quantité totale d'énergie dans le circuit diminue peu à peu en se transformant en chaleur, et les oscillations disparaissent peu à peu.

Et bien figurez-vous que ce phénomène est parfaitement décrit par une équation différentielle qui décrit le comportement de ce circuit ! Voyons cela...

L'équation différentielle d'évolution

Etablir cette équation n'est pas très difficile si l'on respecte les règles et si l'on se souvient des caractéristiques d'une résistance, d'un condensateur et d'une bobine.

Appliquons la loi des mailles à notre circuit : la somme des tensions est nulle, ce qui nous donne \( u_C + u_L + u_R = 0\). Pour notre étude, nous intéresserons à l'évolution de la tension aux bornes du condensateur. Il nous faut donc obtenir une équation différentielle dont la variable est la fonction \( u_C(t) \), que je noterais \( u_C \) pour ne pas surcharger l'écriture.

Commençons par le plus simple : la tension \( u_R \) aux bornes de la résistance R. La loi d'Ohm nous dit que \( u_R = Ri \). Nous savons d'autre part que le courant varie selon la loi \( i = \dfrac{dq}{dt} \), \( dq \) étant la variation infinitésimale de la charge électrique qui circule pendant le temps infinitésimal \( dt \). Ce qui nous donne la valeur de la tension aux bornes de la résistance :
\( u_R = R\dfrac{dq}{dt} \).

Déterminons maintenant \( u_L \). Comme je l'ai dit plus haut, la bobine s'oppose à l'établissement du courant avec une "résistance" qui dépend de son inductance L. Traduit en équation, selon donne simplement \( u_L = L\dfrac{di}{dt} \). Réutilisons la relation entre i et q et nous obtenons \( u_L = L\dfrac{d}{dt}(\dfrac{dq}{dt}) \) soit finalement :
\( u_L = L\dfrac{d^2q}{dt^2} \)

Nous y sommes presque ! Portons les valeurs des différentes tensions dans notre équation de départ, nous obtenons :
\( u_C + R\dfrac{dq}{dt} + L\dfrac{d^2q}{dt^2} = 0 \)
Il ne reste plus qu'à nous souvenir que \(q = C u_C \), selon la définition de la charge électrique stockée par un condensateur, et nous obtenons, en remplaçant q par sa valeur dans notre équation :
\( u_C + RC\dfrac{du_C}{dt} + LC\dfrac{d^2u_C}{dt^2} = 0 \)

En réordonnant les termes pour obtenir la forme standard de l'équation différentielle de second ordre, puis en s'arrangeant pour que le coefficient du terme de second ordre soit égal à 1, j'obtiens :
\( \dfrac{d^2u_C}{dt^2} + \dfrac{R}{L}\dfrac{du_C}{dt} + \dfrac{1}{LC}u_C = 0 \)

La constante \(\dfrac{1}{LC}\), que l'on pose classiquement égale à \( \omega_0^2 \), où \( \omega_0 \) est la pulsation propre de l'oscillateur. C'est la pulsation à laquelle oscillerait le circuit si la valeur de la résistance R était nulle, c'est à dire s'il n'y avait aucune perte.
La constante \( \dfrac{R}{L} \), notée tout aussi classiquement \( 2\sigma \), est le coefficient d'amortissement, ce qui était facile à deviner étant donné la présence de R, la dissipatrice qui provoque l'amortissement des oscillations.

Donc finalement, notre équation différentielle est :
\( \dfrac{d^2u_C}{dt^2} + 2\sigma\dfrac{du_C}{dt} + \omega_0^2u_C = 0 \)

Notez qu'il existe un autre moyen d'établir cette équation différentielle, en utilisant les définitions des énergies.

Sa simulation

Nous nous intéresserons ici au régime pseudo-périodique, les régimes apériodique et critique ayant peu d'intérêt pour réaliser un circuit d'accord. Nous nous intéresserons aussi à l'influence du coefficient d'amortissement sur la forme des oscillations obtenues.

Le script Python CircuitAccord01.py vous permettra de tracer la forme des oscillations en fonction du coefficient d'amortissement que vous aurez choisi. Voici ce que cela donne pour deux valeurs différentes de l'amortissement :

CircuitRLC-Libre1

Sur la courbe ci-dessus, le facteur d'amortissement est de 0.2. La pulsation du circuit RLC vaut 5 USI. Voous noterez la durée élevée des oscillations. La courbe ci-dessous a été tracée avec un facteur d'amortissement de 1.5 pour une même pulsation. La durée des oscillations est beaucoup plus courte.

CircuitRLC-Libre2

Vous pouvez lancer le script en choisissant différentes valeurs du facteur d'amortissement pour en étudier l'impact sur le régime et la durée des oscillations.

Le circuit RLC en oscillateur forcé

Le principe

Forcer l'oscillateur revient à lui injecter de l'énergie pour compenser l'énergie perdue par dissipation dans la résistance. Concrètement, on injecte dans le circuit un courant sinusoïdal, de la forme \( A\cos(\omega t + \phi) \), avec \( \omega \) sa pulsation et \( \phi \) sa phase.

L'équation différentielle

Sans grande surprise, notre équation différentielle y gagne un second membre ! Elle devient :
\( \dfrac{d^2u_C}{dt^2} + 2\sigma\dfrac{du_C}{dt} + \omega_0^2u_C = A\cos(\omega t + \phi) \)
Notez que j'aurais pu utiliser un signal en sinus, ce qui n'aurait strictement rien changé.

Sa simulation

Le script Python CircuitAccord02.py vous permettra de tracer la forme des oscillations avec un forçage sinusoïdal pour un assez faible coefficient d'amortissement (0.6). la pulsation de forçage vaut 2 USI, alors que la pulsation propre est toujours de 5 USI. Voici ce que cela donne :

CircuitRLC-Forcé

Vous observez sur cette courbe deux parties bien distinctes : le régime transitoire où les oscillations commencent à la pulsation propre du circuit RLC pour décroitre très rapidement et atteindre le régime permanent. Dans ce régime, le circuit oscille au rythme de la pulsation de forçage. Si vous faites varier l'amortissement, vous vous apercevrez que plus l'amortissement est grand et plus le régime permanent est attend rapidement.

Le phénomène de résonance dans le circuit RLC

Quelque part, on sent intuitivement que le comportement de l'oscillateur va dépendre des valeurs relatives de \( \omega \) et \( \omega_0 \). Vous avez sans doute déjà fait de la balançoire (celle qu'on accroche à une grosse branche, une escarpolette quoi !). Alors, vous savez qu'il faut la pousser d'une certaine manière pour que l'amplitude du mouvement augmente et d'une autre manière pour l'arrêter. Ce constat n'est pas sans rapport avec le phénomène que je veux aborder maintenant : la résonance.

Pour mettre en évidence le phénomène, j'ai écrit le script Python CircuitAccord03.py, qui trace la courbe de variation de la tension aux bornes du condensateur en fonction de la variable réduite \( \dfrac{\omega}{\omega_0} \). La plage de variation choisie de la variable réduite sera de \( 0.1 \omega_0 \) à \( 2 \omega_0 \). Ce script calcule, pour chaque valeur de la variable réduite dans l'intervalle, la tension maximum \( u_C \) mesurée puis la stocke dans un vecteur. Puis il trace la courbe \( u_C \) maximum en fonction de \( \dfrac{\omega}{\omega_0} \).

Pour étudier l'influence de l'amortissement sur la résonance, je vais tracer la courbe avec une valeur faible d'amortissement (\( \sigma << \omega_0 \)). Dans mon code, \( \omega_0 = 5 \) et donc je vais choisir une valeur d'amortissement petite, par exemple 0,1. L'amplitude du signal de forçage vaut 1. Voilà ce que cela donne :

CircuitRLC-Résonance1

Vous notez que l'amplitude du signal est égale à l'amplitude du signal de forçage, c'est à dire 1 USI, sauf autour de la valeur \( \dfrac{\omega}{\omega_0} = 1\), valeur pour laquelle l'amplitude croît très fortement (1,6 fois l'amplitude initiale). Si vous diminuez encore le coefficient d'amortissement, cette valeur sera encore plus grande. Ce phénomène d'amplification de l'amplitude s'appelle la résonance en tension du circuit. La résonance est atteinte lorsque \( \omega = \omega_0 \), c'est à dire quand le signal de forçage posséde la même pulsation que la pulsation propre du circuit. Dans notre cas, la résonance est recherchée, mais souvent en mécanique on évite que cette égalité soit atteinte, sous peine de subir des vibrations désagréables voire destructrices pour le matériel. La résonance a fait écroulé des ponts et briser des verres ! Voyons maintenant le résultat avec une valeur plus forte de l'amortissement, par exemple 0,15 :

CircuitRLC-Résonance2

Ici, on peut constater l'effet du coefficient d'amortissement. Plus il est fort et moindre est la résonance. Si vous faites la manip avec un coefficient d'amortissement de 0.2 ou plus, vous verrez disparaitre la résonance. Pour obtenir la résonance, il faut que le coefficient d'amortissement soit très petit devant la pulsation du signal de forçage.

Détecter une onde avec un circuit RLC

Le circuit RLC en filtre passe-bande

Rappelons notre objectif : il s'agit d'isoler dans tout le fatras des ondes électromagnétiques qui nous inondent, un signal particulier d'une fréquence donnée. L'amplitude de ce signal sera évidemment très faible, de l'ordre de quelques microvolts au mieux. Il faut donc mettre en oeuvre un montage qui soit sélectif, pour détecter le signal choisi et pas un autre, et aussi sensible pour détecter un signal très faible.

Sur le plan du traitement du signal, notre problème revient à créer ce qu'on appelle un filtre passe-bande : il laisse passer les signaux de fréquence donnée et bloque plus ou moins efficacement les autres. Notons d'ailleurs qu'il ne s'agit généralement pas d'une fréquence unique mais d'une gamme étroite de fréquences centrée sur la fréquence que l'on veut détecter.

Vous noterez que j'emploie indifféremment le terme "onde" et le terme "signal" pour désigner la variation du champ électromagnétique que je veux détecter.

Nous avons vu plus haut qu'il existe un phénomène fort utile dans ce cas : la résonance d'un oscillateur RLC. Un circuit RLC qui serait conçu pour rentrer en résonance pour la fréquence que nous voulons capter, amplifierait très largement la tension aux bornes du condensateur pour cette fréquence, ce qui permettrait de l'isoler et de la traiter plus facilement. Pour fixer les idées, essayons de concevoir un circuit RLC pour détecter des ondes radio données. Ce dispositif s'appelle un circuit d'accord et constitue le premier étage d'un récepteur radio.
Dans le principe, il est constitué de deux éléments : une bobine de valeur fixe et de résistance R faible, dont l'inductance est choisie en fonction de la gamme de fréquences à détecter et d'un condensateur variable, dont on fera varier la capacité pour modifier la fréquence de résonance du circuit, ce qui permettra de détecter des signaux de fréquence différente à l'intérieur de la gamme de fréquences. Le schéma du montage est le suivant:

Circuit accord

L'antenne capte toutes les ondes électromagnétiques. Plus précisément, le champ électromagnétique ambiant fait vibrer les électrons de conduction présents dans le fil métallique qui constitue l'antenne. Ces vibrations engendrent des courants, dont la fréquence est égale à la fréquence des ondes captées. Détecter une onde revient donc à isoler le courant qui correspont à la fréquence de l'onde que nous voulons détecter et à le mesurer.
L'antenne se comporte donc comme un générateur de courant qui "force" notre oscillateur RLC. Nous nous retrouvons donc dans le cas d'un oscillateur forcé abordé ci-dessus.

La capacité du condensateur est variable, ce qui permet de modifier la fréquence de résonance du circuit RLC et donc de sélectionner différentes fréquences d'ondes à recevoir.
La fréquence de résonance du cicuit est égale à \( f_r = \dfrac{1}{2 \pi \sqrt(LC)} \). Pour une gamme de fréquences donnée, la valeur de l'inductance de la bobine est fixée et l'on fait varier la valeur de la capacité du condensateur pour obtenir "l'accord", c'est à dire la résonance, sur la fréquence à détecter.

Par exemple, choisissons de détecter une station radio sur la gamme GO (Grandes Ondes), qui est comprise entre 150 et 525 kHz. L'élement contraignant est le condensateur variable à cages, dont la plupart ont une capacité qui varie entre 50 et 500 pF. Un rapide calcul montre que notre inductance devra avoir une valeur d'environ 2 mH.
La résistance typique d'une bobine de 2mH est de quelques ohms. Le coefficient d'amortissement est donc très petit devant la pulsation de l'onde à détecter, ce qui permet d'obtenir une bonne résonance. En effet, le coefficient d'amortissement vaut \( \dfrac{R}{L} \) qui sera de l'ordre de 103 USI, alors que la pulsation moyenne de la gamme est de l'ordre de 106 USI.

Ah oui, j'ai oublié de vous préciser que les récepteurs radio qui fonctionnent avec un condensateur variable à cages n'existent plus depuis quelques décennies ! Aujourd'hui, on utilise le même principe, mais le condensateur variable est remplacé par un circuit électronique qui présente les mêmes caractéristiques mais 1000 fois plus petit !

L'analogie entre oscillateur électrique et mécanique

L'oscillateur harmonique est un modèle assez universel en physique, aussi bien en physique classique qu'en physique quantique. Savez-vous que Max Planck a élaboré sa loi de quantification de l'énergie en partant d'un modèle basé sur des oscillateurs harmoniques, qu'il appelait "résonateurs" !

Au lycée et en prépa, il est intéressant, tant sur le plan pratique que conceptuel, de remarquer l'analogie profonde entre un oscillateur mécanique et son analogue électrique. Considérons donc un oscillateur mécanique amorti (une masse oscillante couplée à un amortisseur visqueux par exemple) et un circuit RLC.
Vous avez déjà sans doute établi les équations différentielles de ces deux systèmes, et vous avez pu vous aperçevoir qu'elles possèdaient une forme identique, qui décrivent un comportement identique. Il est donc naturel de comparer les termes constants de ces équations et d'y chercher une analogie.
Le tableau ci-dessous rassemble les différents termes et note leur analogie :

Grandeurs mécaniques Grandeurs électriques
Masse m Inductance L
Raideur ressort k Inverse de la capacité 1/C
Tension du ressort T Tension aux bornes de C
Frottement Résistance
Elongation x Charge du condensateur q
Vitesse v = dx/dt Courant i = -dq/dt

Je vous laisse établir l'analogie entre l'énergie potentielle élastique et celle d'un condensateur chargé, ainsi que l'analogie entre l'énergie cinétique et l'énergie stockée dans la bobine...

Les scripts Python

les scripts Python utilisés pour tracer les courbes et faire les simulations décrites ci-dessus sont contenus dans le fichier d'archives CircuitAccord.rar. Il contient les scripts suivants :

Ces scripts ne contiennent aucune particularité ou difficulté qui mérite d'être soulignée.

Pour conclure

A travers une application pratique d'un circuit RLC, la détection d'une onde électromagnétique d'une fréquence donnée, nous avons abordé l'étude d'un oscillateur harmonique et d'une de ses caractéristiques : la résonance. Cette étude pourra être approfondie avec profit, car le modèle de l'oscillateur harmonique vous accompagnera durant toutes vos études de physique.

Ceux qui sont outillés (un générateur BF ou HF et un oscilloscope) pourront monter une manip assez simple pour visualiser le phénomène au delà d'une simulation Python.

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