La catastrophe ultraviolette

Son introduction en 1ere S

Je fus d'abord surpris : trouver un paragraphe consacré à la catastrophe ultraviolette dans un manuel de physique de 1ere S (le Sirius chez Nathan) ! Bien sur, je me suis précipité à la page indiquée pour voir de quoi il retournait...

Il y a d'abord une étude documentaire portant sur un extrait du "Cantique des quantiques" de S. Ortoli et JP. Pharabod. Cet extrait relate en quelques phrases le constat de désaccord entre le modèle de rayonnement du corps noir (en ne citant que Rayleigh...) et les valeurs expérimentales lues sur la courbe de l'intensité de "la lumière émise" en fonction de la longueur d'onde et la température. Le modèle "colle" pour les grandes longueurs d'onde mais pas pour les petites. Aucune mention de la loi de Wien, qui elle, fournit un modèle qui "colle" bien pour les petites longueurs d'onde mais pas pour les grandes...
Dans cet extrait, la catastrophe ultraviolette est définie comme le défaut du modèle de Rayleigh (plus exactement Rayleigh-Jeans, mais bon..) pour les courtes longueurs d'ondes, qui fournit dans ce cas une intensité "extrêmement grande". Un peu court mais pas faux !
La suite du texte explique comment Planck, en quantifiant les échanges d'énergie, a pu proposer un modèle qui couvrait toutes les longueurs d'onde, en accord avec les valeurs expérimentales.

Dans l'étude documentaire, rien sur le corps noir, sur le rayonnement thermique ni sur la loi de Wien, qui pourtant sont étudiés dans le chapitre précédent "Lumière et couleur" ! Mais ce qui m'a le plus surpris, c'est le titre de l'étude "Le modèle ondulatoire de la lumière résiste-t-il à toutes les épreuves expérimentales". Pas sur qu'un élève de 1ere S saisisse bien le raccourci !
Et je ne parle pas des questions du genre "Expliquer ce que signifie la phrase "l'expérience corrobore la loi"" ou encore "Expliquer ce qu'est un "artifice de calcul"". Il est vrai qu'on s'adresse à des élèves de 1ere, mais ce n'est pas sans me rappeler les blagues qui courraient à propos de l'enseignement des maths modernes dans les années 70 (voir par exemple ici)!

Le cours revient sur le problème, en mentionnant le rayonnement thermique et un "modèle théorique de corps condensé et chaud" imaginé par Planck. Le modèle en question est bien sur celui du corps noir, comme mentionné dans une note sur Planck, en marge, qui n'a pas été imaginé par Planck. Le mot "corps noir" est attribué à G.Kirchhoff en 1862. Le modèle du corps noir fut étudié par Boltzmann en 1884. Wien a établit en 1893 une loi qui décrit la fonction de l'intensité du rayonnement en fonction de la longueur d'onde. Rayleigh, corrigé par Jeans, l'ont aussi étudié en 1900 puis enfin Planck, la même année.

A la lecture de ces éléments, je me suis dit qu'il y avait peut être quelque chose à faire pour éclairer un peu plus les élèves sur la "catastrophe ultraviolette" et sur sa relation avec l'insuffisance du modèle ondulatoire de la lumière !

Le rayonnement d'un corps noir

Le rayonnement thermique

Imaginez-vous sur une plage, sous un beau soleil, aux Filaos à St Leu (île de la Réunion pour les z'oreilles) par exemple. Vous sentez la chaleur solaire vous envahir. Et pourtant vous n'avez aucun contact avec le Soleil ! Il existe même un vide (ou à peu prés) de 155 millions de km entre vous et notre étoile. La chaleur solaire nous parvient par rayonnement.
En fait, tous les corps condensés dont la température est supérieure à 0 K échangent de la chaleur avec l'environnement en rayonnant. A température ordinaire, disons 300 K, nous ne voyons pas ce rayonnement, car sa longueur d'onde n'est pas dans le spectre visible. Par contre, on peut l'apercevoir en regardant n'importe quel quidam à l'aide d'une caméra infrarouge.
Ah oui, rappelons qu'en physique, on utilise le degré Kelvin (K) pour mesurer la température et non le degré Celsius, et que 0 K = -273 ° C environ. 300 K correspond donc à 27° C.

Prenons un morceau de fer : à 300 K, il semble noir ou du moins sombre. Si on le chauffe, on verra sa couleur évoluer : elle passera du rouge sombre au rouge vif, puis au jaune et enfin au blanc. Son rayonnement passe de l'infrarouge au visible, d'abord sur les grandes longueurs d'onde (rouge sombre) puis sur des longueurs d'onde plus courtes. Le maximum d'émission se situe au milieu du spectre visible, avec un mélange de toutes les longueurs d'onde, ce qui donne du blanc.

Les lois qui gouvernent ce rayonnement relèvent de l'électromagnétisme et aussi de la thermodynamique. On l'appelle donc "rayonnement thermique", où le mot "thermique" ne désigne pas sa nature, qui est électromagnétique, mais son origine, qui tient d'un échange d'énergie thermique. Autre caractéristique, le spectre du rayonnement thermique est continu.

On pourrait aussi parler de l'origine de ce rayonnement, mais cela ne semble pas au programme ! On peut toutefois tenter une explication très très schématique, qui vaut ce qu'elle vaut et qui reste dans le domaine classique.... La température d'un corps dépend de l'agitation de ses composants (atome, molécules). Plus la température est élevée, plus l'agitation est grande. Le programme de TS effleure le sujet dans son introduction à l'énergie interne d'un système. Les particules d'un corps sont donc agitées de façon chaotique, ce qui signifie que leur accélération varie. Et là intervient un point qui n'est pas au programme de S : ces atomes ou molécules comportent des particules chargée qui rayonnent lorsqu'elles sont accélérées. C'est la somme de ces rayonnements "élémentaires" qui constitue le rayonnement thermique.

Le corps noir

Pour faire court, on appelle "corps noir" tout corps qui absorbe totalement tout rayonnement électromagnétique incident, quelque soit sa fréquence. Autant vous le dire, c'est un idéal, qui n'existe pas dans la nature. Mais on connait des dispositifs qui remplissent plutôt bien le rôle.

Considérons par exemple un four dont les parois seraient noires et rugueuses. Noires pour absorber le maximum de rayonnement et rugueuses pour réfléchir dans tous les sens le rayonnement incident qui n'aurait pas été absorbé. Dans un tel four à l'équilibre thermique pour une température T, le rayonnement thermique émis par les parois sera immédiatement absorbé par les même parois. Un système d'ondes stationnaires s'établit dans le four.
Perçons une toute petite ouverture dans ce four. Lorsqu'un rayonnement passe cette ouverture, il pénètre dans le four et subit une multitude de rebonds sur les parois noires et rugueuses. Il est presque immédiatement complétement absorbé et ce, quelque soit sa fréquence. C'est la définition même d'un corps noir !
Il suffit maintenant de monter un dispositif devant l'ouverture qui permette de mesurer les caractéristiques du rayonnement interne du four pour que l'on puisse étudier le rayonnement du corps noir. Ce dispositif sera un spectromètre, car le but est d'étudier le spectre du rayonnement en fonction de la température du four...

En quoi l'étude du corps noir et de son rayonnement est-elle intéressante? Elle permet d'établir précisément les caractéristiques du rayonnement électromagnétique d'un corps à l'équilibre thermique, en fonction de la température T du corps noir. C'est cette étude qui permit de déceler le problème nommé "catastrophe ultraviolette" et d'aboutir à la quantification des échanges d'énergie.

Et je ne parlerai pas des multiples domaines de la physique dans lesquels l'étude du rayonnement d'un corps noir est important. Celui qui me vient immédiatement à l'esprit est le rayonnement fossile de l'Univers, dont l'étude permet de mieux comprendre les débuts de notre univers. Citons aussi l'analyse de la température des étoiles à partir du rayonnement thermique qu'elles nous envoient.

La situation avant Planck

La loi de Wien

Wien a étudié la répartition de l'intensité du rayonnement du corps noir en fonction de sa longueur d'onde et de la température du corps noir. On note classiquement cette fonction u(λ,T). Il a produit deux résultats:

La loi de Rayleigh-Jeans

Elle a été établie par les physiciens Rayleigh et Jeans en 1900. Vous trouverez leur bio sur Wiki... Elle donne une autre approche de u(λ,T). En effet, à l'issue d'un long calcul basé sur des considérations d'électromagnétisme et de mécanique statistique, ils posent \(u(\lambda,T) = \dfrac{8\pi k}{c}\dfrac{T}{\lambda^2} \) où c est la vitesse de la lumière et k la constante de Boltzmann.
Il convient d'insister sur un point important : le calcul de Rayleigh était parfaitement juste dans le cadre de la physique classique. Il est articulé en deux parties. La première consistait à démontrer que le rayonnement à l'intérieur du four, dit autrement le champ électromagnétique dans une cavité, est équivalent à un ensemble d'oscillateurs harmoniques (à l'époque, on appelait ça des résonateurs, terme utilisé par Planck dans ses notes) indépendants. La seconde partie consistait à appliquer un principe de mécanique statistique à cet ensemble d'oscillateurs pour en déduire l'énergie volumique. En fait, ce principe est tout simple : il veut qu'à la température T, l'énergie moyenne d'un oscillateur soit égale à kT, avec k la constante de Boltzmann, et ce quelque soit la fréquence ν de l'oscillateur.

Le constat de la "catastrophe ultraviolette"

Reprenons nos deux lois de rayonnement :

La loi de Wien rend bien compte des observations expérimentales pour les courtes longueurs d'onde, c'est à dire les hautes fréquences, mais n'est pas bonne du tout pour les grandes longueurs d'onde (les basses fréquences). De plus, elle fut obtenue de façon assez empirique...

La loi de Rayleigh rend compte des observations pour les grandes longueurs d'onde mais pas pour les petites longueurs d'onde, pour lesquelles elle diverge très rapidement. Mais ce n'est pas son principale problème ! Cette loi est issue d'un calcul rigoureux établi sur les bases de l'électromagnétisme et de la mécanique statistique. Sa mise en cause revient à mettre en cause ces bases. Le problème est que l'équation de Rayleigh a le très mauvais goût de présenter une intégrale infinie (elle diverge...) lorsqu'on intègre u entre 0 et + ∞, ce qui est très très mauvais pour un modèle physique! En gros, cela signifie que l'énergie volumique du champ dans le four est infinie, ce qui fait désordre !

C'est ce qu'on appelle la "catastrophe ultraviolette" ! Une intégrale qui diverge à l'infini, donc une loi non valide physiquement, mais qui est obtenue avec un calcul juste basé sur les fondements de la physique de l'époque ! "Ultraviolette", car ce problème apparait pour les courtes longueurs d'onde, celles du coté de l'ultraviolet.

L'apport de Planck, une révolution

La loi de Planck

Planck a commencé sa carrière par des travaux en thermodynamique et mécanique statistique. Sa thèse de 1879 porte d'ailleurs sur le second principe de la thermodynamique et l'irréversibilité. Il aborda donc naturellement le problème du rayonnement du corps noir à partir de 1895. Et lui aussi débuta ses travaux par le modèle électromagnétique des résonateurs. Ses travaux avancaient, basés sur ce modèle. Il retrouva même, en la justifiant, la loi empirique de Wien. Mais malheureusement, les expériences venaient contredire ces splendides travaux: la loi de Wien n'était pas valable pour les basses fréquences ! Il reprit son travail et commit alors ce qu'il appela un "acte de désespoir". A partir de considérations de thermodynamique, il en vint à considérer que l'énergie de l'ensemble des résonateurs devait être décomposée en éléments entiers nommés ε et que chacun de ces ε devait prendre la valeur hν. h était pour Planck une constante auxiliaire (d'où son nom, en allemand).
La quantification de l'énergie était née, sans même que personne, pas plus Planck que d'autres, n'en n'ait mesuré les conséquences. Il est pratiquement certain (voir Thomas Kuhn) que Planck n'a jamais écrit que l'énergie des résonateurs ne pouvait être qu'un multiple entier de hν. C'était pour lui un artifice de calcul... Ceux qui s'intéressent à cette histoire liront avec profit "Un siècle de quanta" chez EDP Sciences.

La loi de Planck sur la densité d'énergie s'énonce ainsi :

\begin{align} u(\lambda,T) = \dfrac{2 h c^2}{\lambda^5} \dfrac{1}{\exp(\dfrac{hc}{\lambda k T}) - 1} \end{align}

avec h la constante de Planck, évidemment... On remarque que l'intégrale de cette fonction ne diverge pas: la catastrophe ultraviolette est vaincue! Cette loi colle parfaitement aux données expérimentales, quelque soit la fréquence. Voici quelques courbes u(λ,T) pour différentes valeurs de T, sous Maple:

CourbePlanck

En fait, si l'on reprend le calcul de Rayleigh en introduisant dans sa seconde partie cette quantification, on aboutit à la relation que Planck a trouvé par d'autres voies. D'ailleurs, il est intéressant de constater que l'on retrouve les résultats de Wien pour les hautes fréquences, ainsi que les résultats de Rayleigh pour les basses fréquences (en faisant un DL du dénominateur avec hν << kT). On retrouve même la loi de déplacement de Wien et la loi de Stéfan. Dans ce dernier cas, elle permet de calculer la valeur de la constante de Stéfan, qui n'est plus une constante fondamentale mais une composition des constantes h, c et k.

Ses conséquences

La nature discontinue du rayonnement électromagnétique et des échanges matière-rayonnement

Il est inexact d'attribuer à Planck la quantification du rayonnement électromagnétique et des échanges matière-rayonnement. C'est à Einstein que revient cette découverte. Plus précisément, c'est lors de son étude de l'effet photoélectrique, qui lui valut le prix Nobel en 1922, qu'Einstein en est venu à poser la célébrissime formule E = hν, que l'on appelle aujourd'hui la relation de Planck-Einstein. C'est cette relation, et la notion de photon qui en découle, qui marque la nature discontinue du rayonnement et de ses échanges avec la matière.

Il reste que l'introduction de la notion de discontinuité dans le rayonnement allait poser d'énormes problèmes: comment envisager un objet qui possède à la fois des propriétés ondulatoires incontestables et des propriétés corpusculaires tout aussi incontestables. Le débat dura longtemps et laisse encore des traces, puisqu'on parle toujours dans les cours de physique de dualité onde-corpuscule ...

La naissance de la physique quantique

C'est à la physique quantique de transcender ces deux concepts pour un créer un, qui n'est ni ondulatoire, ni corpusculaire. L'équation de Schrödinger est une première étape et il y en eu d'autres. L'interprétation des résultats de cette équation amena beaucoup de questions, dont certaines ne sont pas encore clairement résolues, du moins sont toujours l'objet de discussions.

L'introduction à la physique quantique reste très très schématique en S. Le programme de TS aborde la dualité onde-corpuscule sur laquelle je reviens sur une autre page, mais ne mentionne aucun des postulats de la physique quantique, même en les simplifiant. Le "Sirius" de 1S affirme même (p 94) que la mécanique quantique est née de l'idée de la mécanique ondulatoire de Louis de Broglie, alors qu'il ne mentionne pas Heisenberg, ce qui est quand même troublant!

En résumé

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