Les attracteurs de Lorenz et de Rössler

L'attracteur de Lorenz

L'attracteur de Lorenz, connu aussi son le nom de "papillon de Lorenz", est sans doute le plus connu des systèmes dynamiques non linéaires, essentiellement pour son aspect esthétique!
Le système différentiel en question fut obtenu par Ed Lorenz en 1963, alors qu'il étudiait les mouvements convectifs de l'atmosphère. Ce système résulte d'une simplification assez drastique de l'ensemble des équations différentielles en jeu. C'est un système paramétrique dont voici l'expression:

dx/dt = σ*(y-x)

dy/dt = r*x-y-x*z

dz/dt = x*y-b*z

Les paramètres σ, r et b sont d'origine "métier":

Les variables sont aussi "métier" :

A vrai dire, la signification réelle des paramètres et des variables importe peu pour l'étude de la dynamique du système de Lorenz. Il faut simplement savoir que l'on fixe généralement sigma et b (les paramètres physiques et géométriques ) et que l'on étudie le comportement en fonction de la variation de r et des conditions initiales.
Je vous propose d'aborder ici la notion d'attracteur à travers le tracé graphique du papillon de Lorenz dans son espace de phase pour différentes valeurs de r et des conditions initiales. Je n'introduirai pas formellement la notion d'attracteur. Pour les personnes intéressées, je vous recommande la lecture des bouquins suivants, indispensables à l'étude de la dynamique des systèmes non-linéaires :

Le tracé de la trajectoire dans l'espace de phase est obtenu avec le programme ChaosLorenz, qui est écrit selon les méthodes appliquées sur ce site, du C utilisant la librairie graphique Dislin et la méthode RK4 pour l'intégration numérique. Vous pouvez télécharger le source du programme ici.
Son usage est très simple : vous lancez le programme dans une console Commande. Il vous demande la valeur de r, les coordonnées initiales du mouvement. Et la courbe se trace. Pour terminer, appuyez sur le bouton droit de la souris dans la fenêtre graphique.

L'attracteur standard

Le superbe papillon de Lorenz que vous voyez dans tous les livres est tracé pour les valeurs de paramètres σ = 10, b=8/3 et r = 28. Les conditions initiales pour [x0,y0,z0] sont [1,1,20]. Voilà ce que cela donne avec le programme ChaosLorenz:

Certes, il y a plus joli sur le plan esthétique, mais ce n'est pas mal quand même, vu les moyens mobilisés... Je n'ai pas fait figurer les trois points fixes du système, mais vous ne manquerez pas de le faire à titre d'exercice!

Faire varier le paramètre r

Comme je vous l'ai indiqué ci-dessus, le caractère chaotique du système est déterminé par la valeur du paramètre r, qui mesure le gradient de température entre le bas et le haut de la cellule de convection. A partir d'une certaine valeur de r, le système devient chaotique. Ce fait peut être déterminé mathématiquement. Mais je vous propose de l'étudier plutôt par des simulations.
Visualisons d'abord la trajectoire dans l'espace de phase pour diverses valeurs de r comprises entre 0 et 30, tout en gardant les conditions initiales standards [x0,y0,z0] = [1,1,20]. Ne dépassez pas 30, vous sortiriez des limites de la fenêtre graphique (que vous pouvez modifier bien sur!). Les valeurs des paramètres sont dans le cartouche de chaque vue. On obtient:







La différence de comportement du système pour r=19 et r = 20 ne vous aura pas échappé! J'ai cherché à déterminer la valeur de r pour laquelle apparaissaient les deux bassins d'attraction. Voilà ce que j'obtiens pour r= 19.4394 et r = 19.4395:



La différence de valeur de r porte sur 10-4 seulement !! Vous pouvez continuer à chercher le point exact de bascule. C'est vous dire la sensibilité à la valeur de r!

Faire varier les conditions initiales [x0,y0,z0]

Voyons ce qui se passe pour notre système autour de 0. Simulons le système pour un point origine [0,0,0], avec les paramètres standards avec r = 28 (conditions paramétriques que nous garderons pour la suite). On obtient:

La trajectoire dans l'espace de phase se réduit à un point [0,0,0], ce qui n'est guère surprenant. Voyons maintenant ce qui se passe au voisinage de ce point. Visualisons la trajectoire pour un point origine [10-6, 10-6, 10-6]. On obtient:

Remarquable non! La variation autour de 0 est pourtant très faible! Par curiosité, j'ai essayé avec l'origine en [10-9, 10-9, 10-9], sachant que le programme calcule en double, mais que nous sommes loin au delà de la précision de RK4 (il faudrait essayer avec une rka). On obtient:

Voici quelques vues pour des valeurs croissantes des coordonnées d'origine, respectivement [4,4,4], [8,8,8] et [15,15,15]:




On remarque les variations des trajectoires autour des deux points fixes non nuls.
Je vous laisse continuer les manips. Je n'ai fais ici aucune interprétation mathématique des résultats.

L'attracteur de Rössler

L'attracteur de Rössler ne provient pas de l'étude d'un système physique, du moins pas directement. Il résulte d'un effort de simplification pour étudier plus facilement la "chute" d'une trajectoire dans un bassin d'attraction.
C'est aussi un système paramétrique dont voici l'expression:

dx/dt = -y-z

dy/dt = x+a*y

dz/dt = b+z*(x-c)

Les paramètres possèdent classiquement les valeurs suivantes a = 0.2, b = 0.2 et c = 5.7. Le but de la manip étant évidemment d'en étudier les variations!
Le tracé de la trajectoire dans l'espace de phase est obtenu avec le programme Rossler, qui est écrit selon les mêmes méthodes que ChaosLorenz. Vous pouvez télécharger le source du programme ici.
Voici le tracé classique pour les valeurs paramétriques indiquées ci-dessus et avec l'origine en [0,0,0]:

Je vous laisse faire les variations....

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