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Unités de Planck et analyse dimensionnelle


Le système d'unité de Planck

Les limites des lois physiques actuelles

La plupart des théories cosmologiques actuelles s'appuient sur un modèle dit du "big bang" qui suppose que notre univers avait la forme d'un "atome primitif" à son origine supposée. Le terme "atome primitif" désigne un état de densité d'énergie fantastiquement élevé dans un volume fantastiquement réduit!
Parler d'origine suppose que l'on soit capable de définir un temps t0 = 0, puis que l'on sache étudier l'évolution de l'univers depuis cette origine. Malheureusement, cela relève pour l'instant de la métaphysique ou de la poésie... Nous allons voir pourquoi.
La théorie physique de base de la cosmologie est la relativité générale, qui est, comme vous le savez peut-être, la théorie relativiste de la gravitation newtonienne. Cette théorie, très largement vérifiée, montre que l'énergie forme, au sens géométrique, l'espace-temps. Cependant, elle souffre d'un très grave défaut: elle dit n'importe quoi (des singularités infinies...) lorsqu'il s'agit de traiter des systèmes de taille quantique. Or "l'atome primitif" est précisément de cette taille.
Les physiciens sont donc obligés de prendre en compte les lois et règles de la physique quantique pour calculer le comportement de cet "atome primitif". Seulement grave problème: la physique quantique et la relativité générale sont incompatibles, dramatiquement incompatibles. Entre autre, la première s'appuie sur un espace-temps pré-existant, alors que la seconde créé l'espace-temps.
Ainsi, l'étude des premiers instants de notre univers bute-t-elle sur l'absence d'une théorie alliant la relativité générale et la physique quantique. Cet obstacle a été joliment nommé le mur de Planck. Il matérialise les limites de notre physique. Au delà de ce mur, les lois de notre physique sont inapplicables. C'est pourquoi, parler du temps t0 = 0 est présomptueux car nous ne possédons aucune loi qui nous permette de l'approcher, ni de dire s'il existe et ce que cela peut bien signifier.
Le mur de Planck est caractérisé par certaines constances physiques : un temps, une longueur, une énergie ou une masse, qui fixent la limite entre ce que nos lois actuelles peuvent décrire et ce qu'elles ne peuvent plus décrire.

Les constantes en jeu

Nous cherchons des constantes qui caractérisent deux théories physiques : la relativité générale et la physique quantique. Or nous savons que les constantes fondamentales de ces deux théories sont très peu nombreuses: G et c pour la relativité générale, h (ou hbarre) pour la physique quantique. Nous allons donc chercher à construire les constantes de notre mur à l'aide de ces trois constantes connues.

Voyons plus en détail ces constantes:

Avec ces informations, nous allons calculer les différentes constantes du mur de Planck! Pour ce faire, nous utiliserons l'analyse dimensionnelle.

Retrouver les unités de Planck avec l'analyse dimensionnelle

Le temps de Planck

C'est sans doute l'unité la plus symbolique du système d'unités de Planck, celle qui nous empêche pour le moment d'aller voir à l'origine de l'univers. Sa détermination est très simple si l'on se rappelle des élements de base de l'analyse dimensionnelle.
Je vais poser comme hypothèse que la valeur du temps de Planck Tp peut être obtenue par une combinaison des trois constantes fondamentales des théories de base, la RG et la physique quantique. J'écrirai donc:

Tp = Gx.cy.hbarrez

En utilisant le théorème de Buckingham (voir ici, par exemple), et en passant aux dimensions, j'obtiens:

[Tp] = (L3M-1T-2)x.(LT-1)y.(L2MT-1)z

Je cherche bien sur les valeurs de x, y et z, sachant que la dimension de Tp est bien sur T. Ce qui m'amène au système linéaire de 3 équations à 3 inconnues:

-x + 0y + z = 0 pour M

3x + y + 2z = 0 pour L

-2x - y - z = 1 pour T

En utilisant votre calculette préférée, ou mieux en vous donnant la peine de le résoudre rapidement, vous obtiendrez les solutions suivantes:

x = 1/2

y = -5/2

z = 1/2

ce qui me donne l'expression suivante pour le temps de Planck Tp = G1/2.c-5/2.hbarre1/2 ou encore:

Tp = sqrt(hbarre.G/c5)

Physiquement, le temps de Planck est le temps mis par un photon pour parcourir une distance égale à la longueur de Planck que nous allons voir ci-après. C'est la plus petite unité de temps cohérente avec les lois de la physique connues à ce jour.

La longueur de Planck

Je procède exactement comme ci-dessus. La dimension de Lp, la longueur de Planck est bien sur L, ce qui me donne:

[Lp] = (L3M-1T-2)x.(LT-1)y.(L2MT-1)z

avec le système:

-x + 0y + z = 0 pour M

3x + y + 2z = 1 pour L

-2x - y - z = 0 pour T

Les solutions sont:

x = 1/2

y = -3/2

z = 1/2

ce qui me donne l'expression suivante pour la longueur de Planck Lp = G1/2.c-3/2.hbarre1/2 ou encore:

Lp = sqrt(hbarre.G/c3)

La masse de Planck

Même motif, même punition, comme on disait dans ma jeunesse militaire! La dimension de la masse de Planck Mp est bien sur M, ce qui me donne:

[Mp] = (L3M-1T-2)x.(LT-1)y.(L2MT-1)z

avec le système:

-x + 0y + z = 1 pour M

3x + y + 2z = 0 pour L

-2x - y - z = 0 pour T

Les solutions sont:

x = -1/2

y = 1/2

z = 1/2

ce qui me donne l'expression suivante pour la masse de Planck Mp = G-1/2.c1/2.hbarre1/2 ou encore:

Mp = sqrt(hbarre.c/G)

L'énergie de Planck

Continuons sur notre lancée... La dimension de l'énergie de Planck Ep est M.L2.T-2, comme pour toute énergie. En reprenant le principe bien connu maintenant, j'ai le système d'équations:

-x + 0y + z = 1 pour M

3x + y + 2z = 2 pour L

-2x - y - z = -2 pour T

Les solutions sont:

x = -1/2

y = 5/2

z = 1/2

ce qui me donne l'expression suivante pour l'énergie de Planck Ep = G-1/2.c5/2.hbarre1/2 ou encore:

Ep = sqrt(hbarre.c5/G) = c2*sqrt(hbarre.c/G)

Et vous pourriez continuer ainsi longtemps ! Sur le même principe, vous pouvez calculer la température de Planck, la force de Planck et bien d'autres choses...

Les valeurs numériques

Par paresse, pour ne pas me taper tous les calculs à la calculette, j'ai écris un petit programme Scilab qui le fait pour moi. Il est téléchargeable ici. Voici les résultats qu'il nous donne, en unités usuelles:

Temps de Planck 5.39055e-044 s
Longueur de Planck 1.61605e-035 m
Energie de Planck 1.22104e+019 GeV
Masse de Planck 2.17671e-008 kg

Vous noterez surtout les ordres de grandeur du temps de Planck,10-43 s, et de l'énergie de Planck 1019 GeV, ce qui est colossal!

Conclusion

Cette page a pour unique objet de montrer ce que l'analyse dimensionnelle, avec une bonne dose de sens physique, permet d'obtenir en termes de concepts physiques. Le système d'unités de Planck a des applications directes en cosmologie et constitue le poil à gratter de toutes les théories cosmologiques d'aujourd'hui...


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